Аргумент Экманна — Хилтона

Аргумент Экманна — Хилтона — теорема о паре унитальных магм, одна из которых является гомоморфизмом для другой. В таком случае простое рассуждение показывает, что структуры магм совпадают и, более того, они является коммутативным моноидом. Назван в честь Экманна и Хилтона, использовавших его в своей статье 1962 года.

Наиболее известное приложение этой теоремы — доказательство того факта, что гомотопические группы любой топологической группы $G$ абелевы. Например, для доказательства коммутативности $\pi _{1}(G,e)$ достаточно рассмотреть произведение петель, индуцированное групповым умножением в $G$ и воспользоваться аргументом Экманна — Хилтона.

Формулировка и доказательство теоремы

Пусть $(X,\circ )$ и $(X,\otimes )$ — две магмы с единицами $1_{\circ }$ и $1_{\otimes }$, причём

$(a\otimes b)\circ (c\otimes d)=(a\circ c)\otimes (b\circ d)$ для всех $a,b,c,d\in X$.

Тогда бинарные операции $\circ$ и $\otimes$ совпадают и, более того, являются коммутативными и ассоциативными.

Заметим, что единицы рассматриваемых магм совпадают: $1_{\circ }=1_{\circ }\circ 1_{\circ }=(1_{\otimes }\otimes 1_{\circ })\circ (1_{\circ }\otimes 1_{\otimes })=(1_{\otimes }\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes })=1_{\otimes }\otimes 1_{\otimes }=1_{\otimes }$.

Далее, пусть $a,b\in X$. Тогда $a\circ b=(1\otimes a)\circ (b\otimes 1)=(1\circ b)\otimes (a\circ 1)=b\otimes a=(b\circ 1)\otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a$. Таким образом, $\circ$ и $\otimes$ совпадают и являются коммутативными.

Наконец, проверим ассоциативность: $(a\otimes b)\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes c)$.

Литература

• John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 89)
• John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 100)
• Eckmann, B.; Hilton, P. J. (1962), "Group-like structures in general categories. I. Multiplications and comultiplications", Mathematische Annalen, 145 (3): 227—255, doi:10.1007/bf01451367, MR 0136642.
• Hurewicz, W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, vol. 38, pp. 112—119, 521–528.
• Brown, R.; Higgins, P. J.; Sivera, R. (2011), Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, vol. 15, p. 703, arXiv:math/0407275, MR 2841564.
• Higgins, P. J. (2005), "Thin elements and commutative shells in cubical $\omega$-categories", Theory and Application of Categories, 14: 60—74, MR 2122826.
• James, I.M. (1999), History of Topology, North Holland
• Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups