Асимптотическая размерность

Асимптотическая размерность метрического пространства — аналог размерности Лебега на большой шкале. Асимптотическая размерность имеет важные приложения в геометрическом анализе и теории индексов.

Понятие асимптотической размерности было введено Михаилом Громовым^[1] в контексте геометрической теории групп, как квазиизометрический инвариант конечно порожденных групп. Как показал Гуолян Юй, конечно порожденные группы конечного гомотопического типа с конечной асимптотической размерностью удовлетворяют гипотезе Новикова.^[2]

Определение править

Пусть $X$ — метрическое пространство и $n\geqslant 0$ целое число. Мы говорим, что $\operatorname {asdim} (X)\leqslant n$ если для каждого $R\geqslant 1$ существует равномерно ограниченное покрытие ${\mathcal {U}}$ пространсва $X$ такое, что каждый замкнутый $R$ шар в $X$ пересекает не более $n+1$ подмножеств из ${\mathcal {U}}$ . Здесь равномерно ограниченное означает, что $\sup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {diam} (U)<\infty$ .

Асимптотическая размерность $\operatorname {asdim} (X)$ определяется как наименьшее целое число, $n\geqslant 0$ такое, что $\operatorname {asdim} (X)\leqslant n$ , если таких $n$ не существует, то $\operatorname {asdim} (X):=\infty$ .

Связанные определения править

Говорят, что семейство $(X_{i})_{i\in I}$ метрических пространств удовлетворяет $\operatorname {asdim} (X)\leqslant n$ равномерно, если для каждого $R\geqslant 1$ и каждого $i\in I$ существует покрытие ${\mathcal {U}}_{i}$ пространства $X_{i}$ множествами диаметра не более $D(R)<\infty$ (независимо от $i$ ) такого, что каждый замкнутый $R$ -шар в $X_{i}$ пересекает не более $n+1$ подмножеств из ${\mathcal {U}}_{i}$ .

Примеры править

Если $X$ - метрическое пространство ограниченного диаметра, то $\operatorname {asdim} (X)=0$ .
$\operatorname {asdim} (\mathbb {R} )=\operatorname {asdim} (\mathbb {Z} )=1$ .
$\operatorname {asdim} (\mathbb {R} ^{n})=n$ .
$\operatorname {asdim} (\mathbb {H} ^{n})=n$ .
Группа Григорчука имеет бесконечную асимптотическую размерность.
Группа Томпсона $F$ имеет бесконечную асимптотическая размерность так как они содержат подгруппы, изоморфные $\mathbb {Z} ^{n}$ для сколь угодно больших $n$ .

Свойства править

Если $Y\subseteq X$ является подпространством метрического пространства $X$ , то $\operatorname {asdim} (Y)\leqslant \operatorname {asdim} (X)$ .
Для любых метрических пространств $X$ и $Y$ выполняется следующее неравенство
$\operatorname {asdim} (X\times Y)\leqslant \operatorname {asdim} (X)+\operatorname {asdim} (Y)$ .
Если $A,B\subseteq X$ , тогда $\operatorname {asdim} (A\cup B)\leqslant \max\{\operatorname {asdim} (A),\operatorname {asdim} (B)\}$ .
Если $f:Y\to X$ является грубым вложением (например, квазиизометрическим вложением), то $\operatorname {asdim} (Y)\leqslant \operatorname {asdim} (X)$ .
Если $X$ и $Y$ являются грубо эквивалентными метрическими пространствами (например, квазиизометрическими метрическими пространствами), то $\operatorname {asdim} (X)=\operatorname {asdim} (Y)$ .
Если $X$ — метрическое дерево, то $\operatorname {asdim} (X)\leqslant 1$ .
Пусть $f:X\to Y$ — липшицево отображение из геодезического метрического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$ . Предположим, что для каждого $r>0$ множества из семейства $\{f^{-1}(B_{r}(y))\}_{y\in Y}$ удовлетворяет неравенству $\operatorname {asdim} \leqslant n$ равномерно. Тогда $\operatorname {asdim} (X)\leqslant \operatorname {asdim} (Y)+n$ .^[3]
Если $X$ является метрическим пространством с $\operatorname {asdim} (X)<\infty$ , то $X$ допускает грубое (равномерное) вложение в Гильбертово пространство.^[4]
Если $X$ — метрическое пространство ограниченной геометрии с $\operatorname {asdim} (X)\leqslant n$ , то $X$ допускает грубое вложение в произведение $n+1$ локально конечных деревьев.^[5]