Аффинная длина

Аффи́нная длина́ — параметр плоской кривой, который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях, сохраняющих площадь).

Определение

Для плоской кривой $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ аффинная длина вычисляется по формуле

$l=\int \limits _{a}^{b}|{\dot {\gamma }}(t)\times {\ddot {\gamma }}(t)|^{1/3}dt,$

где $\times$ обозначает векторное произведение, а ${\dot {\gamma }}(t)$ и ${\ddot {\gamma }}(t)$ — первую и вторую производную.

Частные случаи

• Аффинная длина графика $y=f(x)$ функции $f$ задаётся как

  $l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|f''(x)|}}dx,$

• Для кривой $\gamma (s)$ с натуральным параметром и кривизной $\varkappa (s)$

  $l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|\varkappa (s)|}}ds.$

Свойства

• Аффинная длина дуги параболы равна $2{\sqrt[{3}]{S}},$ где S есть площадь треугольника, образованного хордой дуги и касательными к параболе в концах дуги.
• Среди выпуклых замкнутых кривых с фиксированной аффинной длиной эллипсы (и только они) ограничивают наименьшую площадь.

Вариации и обобщения

Существуют также обобщения аффинной длины на случай пространственных кривых и для общей аффинной группы, а также других её подгрупп.

Литература

• Л. Фейеш Тот, Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, М., Физматлит, 1958. — 364 с.