Симплектическое пространство

Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой $\omega$, то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

$\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$

$\omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )$

$\forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\exists \mathbf {b} \in \mathbb {S} \,:\,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0$

Симплектическая форма обычно обозначается $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$. В отличие от формы скалярного произведения, для которой

$\forall \mathbf {a} \neq 0\,:\,(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )>0$,

для симплектической формы всегда $\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \right\rangle =0$

Связанные определения

• Линейное преобразование L симплектического пространства называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую форму:

$\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a} ),L(\mathbf {b} )\right\rangle$

• Множество всех симплектических преобразований пространства S образует группу, называемую симплектической группой и обозначаемую Sp(S).
• Матрица симплектического преобразования называется симплектической матрицей.
• Подпространство s симплектического пространства S называется симплектическим, если ограничение симплектической формы на s невырождено.
• Два вектора $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in S$ называются косоортогональными, если

$\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0$

Отметим, что любой вектор косоортогонален самому себе.

• Косоортогональным дополнением подпространства $s\subset S$ называется множество всех векторов, косоортогональных любому вектору из $s$.

Каноническая структура

Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все симплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны. Эти факты следуют из теоремы Дарбу для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор $\mathbf {q_{1}} \in \mathbb {S} ,~~\dim \,\mathbb {S} =2n$. В силу невырожденности $\omega$ существует такой вектор $\mathbf {p_{1}} \in \mathbb {S}$, что

$\left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1$

Рассмотрим косоортогональное дополнение к линейной оболочке V векторов $\mathbf {p_{1}}$ и $\mathbf {q_{1}}$. Можно показать, что это будет (2n-2)-мерное подпространство S, не пересекающееся c V, причём ограничение $\omega$ на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором $\omega$ заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим базис

$(\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )$,

такой что

$\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0$

где $\delta _{ij}$ — символ Кронекера. Он называется каноническим базисом или базисом Дарбу.

В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид

$\Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}$

где $I_{n}$ — единичная матрица порядка n. $\Omega _{n}$ является симплектической матрицей.

Строение подпространств

Рассмотрим подпространство $W\subset \mathbb {S}$ и его косоортогональное дополнение $W^{\perp }$. В силу невырожденности $\omega$:

$\dim \,W+\dim \,W^{\perp }=\dim \,\mathbb {S}$

Кроме того,

$(W^{\perp })^{\perp }=W$

В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:

• Симплектические: $W\cap W^{\perp }=0$. Это верно тогда и только тогда, когда ограничение $\omega$ на W невырождено, так что такое определение симплектических подпространств совпадает с данным ранее. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,2k=\dim \,W$

• Изотропные: $W\subset W^{\perp }$. Подпространство изотропно тогда и только тогда, когда $\omega$ тождественно равна нулю на нём. Любое одномерное подпространство изотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~0,\dots ,0),\,k=\dim \,W$.

• Коизотропные: $W^{\perp }\subset W$. W коизотропно тогда и только тогда, когда $\omega$ невырождена на факторпространстве $W\,/\,W^{\perp }$. Любое подпространство коразмерности 1 коизотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_{1},\dots ,p_{n};~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,n+k=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}$

• Лагранжевы: $W^{\perp }=W$. W лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. Любое изотропное подпространство вкладывается в лагранжево, а любое коизотропное подпространство содержит лагранжево. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_{1},\dots ,p_{n};~0,\dots ,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}$

Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2n образует многообразие, называемое лагранжевым грассманианом $\Lambda _{n}$. Оно диффеоморфно многообразию смежных классов унитарной группы $\mathbb {U} _{n}$ по ортогональной подгруппе $\mathbb {O} _{n}$, при этом

$\dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$

Примеры

• В комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{n}$ можно задать билинейную кососимметричную форму по формуле

$\left\langle u,w\right\rangle =\operatorname {Im} \left[u,w\right]$

где $\left[\cdot ,\cdot \right]$ — эрмитова форма. Эта форма задаёт симплектическую структуру на овеществлении $\mathbb {R} ^{2n}$ пространства $\mathbb {C} ^{n}$.

• Для любого пространства V существует каноническая симплектическая структура на пространстве $V\oplus V^{*}$, где $V^{*}$ — сопряжённое к V пространство. Кососкалярное произведение определяется для базисных векторов в V и сопряжённых к ним по формуле

$\left\langle w,u\right\rangle =1,~~u^{*}=w,~~u\in V$

$\left\langle w,u\right\rangle =0,~~u^{*}\neq w,~~\forall u,w\in V\oplus V^{*}$

и продолжается на все остальные векторы по линейности.

См. также

• Индекс Маслова
• Симплектическая группа
• Симплектическое многообразие
• Контактная структура
• Гамильтонова механика
• Фазовое пространство
• Уравнения Гамильтона

Литература

• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. — 2-ое изд.. — Ижевск: РХД, 2000. — 168 с. — ISBN 5-7029-0331-5. (недоступная ссылка)
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Издательство МГУ, 1988. — 414 с. (недоступная ссылка)