Биномиальный ряд

Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции $f$, заданной выражением $f(x)=(1+x)^{\alpha },$ где $\alpha \in \mathbb {C}$ является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,

${\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}$

(1)

и биномиальный ряд справа в формуле (1) является степенным рядом, выраженном в терминах (обобщённых) биномиальных коэффициентов

${\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.$

Специальные случаи

Если $\alpha$ является неотрицательным целым числом n, то $(n+2)$-й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель $(n-n)$, так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона.

Следующие выражения верны для любого комплексного $\beta$, но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле (1):

${\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}.$

Чтобы это доказать, подставим $x=-z$ в выражение (1) и применим тождество для биномиальных коэффициентов

${\binom {-\beta -1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k+\beta }{k}}.$

Сходимость

Условия сходимости

Сходится ли ряд в формуле (1), зависит значений комплексных чисел $\alpha$ и x. Точнее:

1. Если $|x|<1$, ряд сходится абсолютно для любого комплексного $\alpha$.
2. Если $\left|x\right|=1$ ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо $Re(\alpha )>0$, либо $\alpha =0$, где $Re(\alpha )$ означает вещественную часть $\alpha$.
3. Если $\left|x\right|=1$ и $x\neq -1$ ряд сходится тогда и только тогда, когда $Re(\alpha )>-1$.
4. Если $x=-1$ ряд сходится тогда и только тогда, когда либо $Re(\alpha )>0$, либо $\alpha =0$.
5. Если $\left|x\right|>1$ ряд расходится, за исключением случая, когда $\alpha$ — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).

В частности, если $\alpha$ не является отрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости $|x|=1$ приведена ниже:

• Если $Re(\alpha )>0$ ряд сходится абсолютно.
• Если $-1<Re(\alpha )\leqslant 0$ ряд сходится условно, если $x\neq -1$, и расходится, если $x=-1$.
• Если $Re(\alpha )\leqslant -1$ ряд расходится.

Тождества, используемые в доказательстве

Следующее выполняется для любого комплексного числа $\alpha$:

${\alpha \choose 0}=1,$

${\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},$

(2)

${\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.$

(3)

Если $\alpha$ не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда $k$ больше $\alpha$), имеет место следующее асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в терминах «o» малое:

${\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .$

(4)

Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для гамма-функции:

$\Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},$

откуда немедленно следуют грубые границы

${\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leqslant \left|{\alpha \choose k}\right|\leqslant {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha }}},$

(5)

для некоторых положительных констант m и M.

Формула (2) для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как

${\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).$

(6)

Доказательство

Для доказательства (i) и (v) применим признак Д’Аламбера и используем формулу (2) выше, чтобы показать, что когда $\alpha$ не является неотрицательным целым, радиус сходимости в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы (5) путём сравнения с обобщённым гармоническим рядом

$\sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},$

с $p=1+\operatorname {Re} \alpha$. Для доказательства (iii) сначала используем формулу (3), чтобы получить

$(1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},$

(7)

а затем используем (ii) и снова формулу (5) для доказательства сходимости правой части, когда $\operatorname {Re} \alpha >-1$. С другой стороны, ряд не сходится, если $|x|=1$ and $\operatorname {Re} \alpha \leqslant -1$, снова по формуле (5). Иначе можно заметить, что для всех $j$, ${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geqslant 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geqslant 1}$. Тогда, по формуле (6), для всех ${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geqslant 1}$. Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество (7) выше с $x=-1$ и $\alpha -1$ вместо $\alpha$, и используем формулу (4), чтобы получить

$\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))$

при $n\to \infty$. Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности $n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}$. (А именно, $\left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatorname {Re} \alpha \,\log n}$ определённо сходится к $0$, если $\operatorname {Re} \alpha >0$ и расходится к $+\infty$, если $\operatorname {Re} \alpha <0$. Если $\operatorname {Re} \alpha =0$, то $n^{-\alpha }=e^{-i\operatorname {Im} \alpha \log n}$ и сходится тогда и только тогда, когда последовательность $\operatorname {Im} \alpha \log n$, что определённо выполняется, если $\alpha =0$, но неверно, если $\operatorname {Im} \alpha \neq 0$).

Суммирование биномиальных рядов

Обычный подход к вычислению суммы биномиального ряда следующий. Если продифференцировать почленно биномиальный ряд в круге сходимости $\left|x\right|<1$ и использовать формулу (1), можно получить, что сумма ряда является аналитической функцией, решающей Обыкновенное дифференциальное уравнение $(1+x)u'(x)=\alpha u(x)$ с начальным значением $u(0)=1$. Единственным решение этой задачи является функция $u(x)=(1+x)^{\alpha }$, которая, поэтому, и является суммой биномиального ряда, по меньшей мере для $\left|x\right|<1$. Равенство расширяется до $\left|x\right|=1$, если ряд сходится, согласно следствию из теоремы Абеля и непрерывности $(1+x)^{\alpha }$.

История

Первые результаты о биномиальном ряде для неположительных целых степеней получены Исааком Ньютоном при изучении площадей, ограниченных определёнными кривыми. Джон Валлис нашёл на основе этой работы, рассматривая выражения вида $y=(1-x^{2})^{m}$, где m дробно, что (выражаясь современным языком) последующие коэффициенты $c_{k}$ при $(-x^{2})^{k}$ получаются путём умножения предыдущего коэффициента на ${\tfrac {m-(k-1)}{k}}$ (как в случае целых степеней), посредством чего дал формулу для этих коэффициентов. Он в явном виде записал следующие выражения

$(1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots$

$(1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots$

$(1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots$

Биномиальный ряд, поэтому, иногда называется биномиальной теоремой Ньютона. Ньютон не привёл никаких доказательств и никаких указаний о природе данного ряда. Позднее, в 1826 году Нильс Хенрик Абель обсуждал ряд в статье, опубликованной в журнале Крелле и рассмотрел важные вопросы сходимости.

См. также

• Биномиальное приближение
• Бином Ньютона

Литература

• Niels Abel. Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m-1)/1.2)x² + (m(m-1)(m-2)/1.2.3)x³ + ... // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1826. — Т. 1. — С. 311–339.
• Coolidge J. L. The Story of the Binomial Theorem // The American Mathematical Monthly. — 1949. — Т. 56, вып. 3. — С. 147—157. — doi:10.2307/2305028. — .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Binomial Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Binomial Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• binomial formula (англ.) на сайте PlanetMath.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomial series", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4