Вековое равновесие

Веково́е равнове́сие (радиоакти́вное равнове́сие, секуля́рное равнове́сие) — состояние, при котором число ядер изотопов в цепочке распадов связано с постоянными распада (периодами полураспада) простым соотношением:

${\frac {N_{1}}{N_{2}}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}={\frac {T_{1/2}^{(1)}}{T_{1/2}^{(2)}}}$

Вековое равновесие заключается в том, что число распадов (активность) всех членов радиоактивного ряда равно друг другу, и если исходный изотоп имеет очень большое время жизни (постоянная активность), то никакого изменения активности и у дочерних радиоактивных элементов не наблюдается. С достаточной точностью можно считать, что вековое равновесие наступает за время, равное десятикратному периоду полураспада наиболее долгоживущего дочернего элемента:

• в урановом ряду — через 830 000 лет,
• ториевом — через 67 лет,
• актино-урановом — через 343 000 лет.

В естественном состоянии все нуклиды, генетически связанные в радиоактивных рядах, обычно находятся в определенных количественных соотношениях, зависящих от их периодов полураспада. Чем меньше $T_{1/2}$ члена радиоактивного ряда, тем меньше его содержание в земной коре.

Постоянная распада $\lambda$ — вероятность распада ядра в единицу времени. Если в образце в момент времени $t$ имеется $N$ радиоактивных ядер, то количество ядер $dN$, распавшихся за время $dt$ равно $dN=-\lambda Ndt$.

Количество ядер 2 достигает максимального значения $N_{2}^{max}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}N_{10}exp(-\lambda _{2}t^{max})$ при $t^{max}={\frac {\ln(\lambda _{1}/\lambda _{2})}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}$.

Если $\lambda _{2}<\lambda _{1}$ , суммарная активность $N_{1}(t)\lambda _{1}+N_{2}(t)\lambda _{2}$ будет монотонно уменьшаться. Если $\lambda _{2}>\lambda _{1}$ , суммарная активность вначале растет за счет накопления ядер 2.

В общем случае, когда имеется цепочка распадов $1\xrightarrow {} 2\xrightarrow {} ...n,$ процесс описывается системой дифференциальных уравнений

$dN_{i}/dt=-\lambda _{i}N_{i}+\lambda _{i-1}N_{i-1}$.

Решением системы для активностей с начальными условиями $N_{1}(0)=N_{10}$; $N_{i}(0)=0$ будет

$A_{n}(t)=N_{10}\sum _{i=1}^{n}{c_{i}exp(-\lambda _{i}t)},$ где

$c_{m}={\frac {\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}}{\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{m})}}.$

Ссылки

• "secular equilibrium", IUPAC definition (IUPAC Compendium of Chemical Terminology 2nd Edition, 1997)  (англ.)
• EPA definition (недоступная ссылка)  (англ.)
• Radioactive Equilibrium. An equilibrium as old as the Earth Архивная копия от 28 июля 2019 на Wayback Machine, radioactivity.eu.com, IN2P3, EDP Science
• The concepts of transient and secular equilibrium are incorrectly described in most textbooks, and incorrectly taught to most physics students and residents, 2003, doi:10.1118/1.1738651  (англ.)
• https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1407/1407.3038.pdf Архивная копия от 24 июля 2019 на Wayback Machine  (англ.)
• Законы радиоактивного распада ядер Архивная копия от 26 июля 2019 на Wayback Machine - Б.С. Ишханов, И.Э.Кэбин "ЧАСТИЦЫ И ЯДРА. Шпаргалка для отличника: конспект лекций"