Формально вещественное поле

Формально вещественное поле — поле, в котором элемент $-1$ нельзя представить как конечную сумму квадратов.^[1]^[2]

Для краткости иногда формально вещественное поле называют просто вещественным полем.^[2]

Примеры вещественных полей:

поле вещественных чисел;
поле рациональных чисел.^[3]

Существует несколько альтернативных эквивалентных определений формально вещественных полей:

поле, характеристика которого не равна $2$ и в котором есть элемент, не являющийся суммой квадратов.^[4]
поле, в котором сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда все слагаемые равны нулю.^[2]
поле, которое можно упорядочить (эквивалентость требует аксиомы выбора, а точнее теорему об ультрафильтре).^[5]

Свойства править

Вещественное поле имеет характеристику $0$ .^[1] Подполе вещественного поля является вещественным полем.^[1]

Любое упорядоченное поле является вещественным. Это утверждение не требует аксиомы выбора. Обратное утверждение, что любое вещественное поле можно упорядочить, эквивалентно теореме об ультрафильтре.^[6]

Ненулевые элементы $a$ вещественного поля $K$ можно поделить на 3 типа:

$a$ представим в виде суммы квадратов, а $-a$ нет;
$a$ непредставим в виде суммы квадратов, а $-a$ — представим;
и $a$ , и $-a$ непредставимы в виде суммы квадратов.

Случай, когда и $a$ , и $-a$ представимы в виде суммы квадратов невозможен.

Если $a\neq 0$ и $a$ является суммой квадратов, то $a$ положителен в каждом упорядочении поля. Если $a\neq 0$ и $-a$ является суммой квадратов, то $a$ отрицателен в каждом упорядочении поля. Если ни $a$ , ни $-a$ не являются суммой квадратов, то (при соблюдении аксиомы выбора, а точнее теоремы об ультрафильтре) существует как упорядочение, в котором $a$ положителен, так и упорядочение, в котором $-a$ отрицателен.^[7] Если в вещественном поле для каждого элемента $a$ хотя бы один из элементов $a$ или $-a$ является суммой квадратов, то существует одно и только одно упорядочение этого поля (не требует аксиомы выбора).

Чисто трансцендентное расширение вещественного поля вещественно.^[8] Расширение вещественного поля корнем неприводимого многочлена нечётной степени вещественно.^[9] Расширение вещественного поля квадратным корнем элемента $a$ , для которого $-a$ не является суммой квадратов, — вещественно. Расширение поля квадратным корнем ненулевого элемента $a$ , для которого $-a$ является суммой квадратов, не является вещественным. Расширение упорядоченного поля некоторым множеством квадратных корней положительных элементов является вещественным.^[10]

В не вещественном поле, характеристика которого не равна $2$ , любой элемент можно представить в виде конечной суммы квадратов.^[4] В поле характеристики $2$ могут встречаться элементы непредставимые в виде суммы квадратов, например элемент $t$ в расширении поля $\mathbb {Z} _{2}$ трансцендентным элементом $t$ . Конечные поля (или даже вообще любые поля ненулевой характеристики) и алебраически замкнутые поля (в частности поля комплексных чисел и алгебраических чисел) вещественными не являются.^[3]

Вещественно замкнутое поле править

Вещественное поле $K$ называется вещественно алгебраически замкнутым, если любое его собственное алгебраическое расширение, не является вещественным. Для краткости слово «алгебраически» зачастую опускают и говорят просто вещественно замкнутое поле.^[1]

Примеры вещественно замкнутых полей:

поле вещественных алгебраических чисел;
поле вещественных чисел.^[3]

В вещественно замкнутом поле для любого элемента $a$ хотя бы один из элементов $a$ или $-a$ является суммой квадратов, поэтому у него существует один и только один порядок.^[1] Так как такой порядок существует и единственен, любое вещественно замкнутое поле по умолчанию считают упорядоченным.^[11] Никакое вещественно замкнутое поле не может быть алгебраически замкнутым.^[12]

Следующие утверждения для поля $K$ являются эквивалентны тому, что поле $K$ — вещественно замкнуто:

В поле $K$ для любого элемента $a$ хотя бы один из элементов $a$ или $-a$ имеет квадратный корень и любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень.^[11]
Расширение поля $K$ корнем неприводимого многочлена $x^{2}+1$ является алгебраически замкнутым.^[13]

Для упорядоченного поля первое утверждение можно переписать так:

В упорядоченном поле $K$ каждый положительный элемент имеет квадратный корень и любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один корень.^[14]

Это определение также эквивалентно остальным, потому что вещественно замкнутое поле всегда можно единственным способом упорядочить.

Для многочленов над вещественно замкнутым полем выполняется теорема Вейерштраса о корнях: для любого многочлена $f\in K[x]$ такого, что $f(a)<0,f(b)>0$ , существует $c\in [a;b]$ такое, что $f(c)=0$ .^[10]

Вещественное замыкание править

Есть несколько эквивалентных определений вещественного замыкания поля. Поле $K'$ называется вещественным вещественным замыканием поля $K$ , если выполнено одно из следующих эквивалентных определений:

$K'$ минимальное по включению вещественно замкнутое расширение поля $K$ ;
$K'$ максимальное по включению алгебраическое вещественное расширение поля $K$ ;
$K'$ вещественно замкнутое алгебраическое расширение поля $K$ .^[15]

Для каждого вещественного поля существует вещественное замыкание, причём только одно с точностью до изоморфизма расширений (требует аксиому выбора, а точнее теорему об ультрафильтре). Для любого упорядоченного поля его вещественное замыкание можно выбрать так, что его порядок будет продолжать порядок основного поля. Вещественное замыкание не имеет автоморфизмов расширения кроме единичного.^[16]

В любом алгебраически замкнутом расширении вещественного поля содержится его вещественное замыкание. Аналогично, в любом вещественно замкнутом расширении вещественного поля содержится его вещественное замыкание. Любое алгебраически замкнутое поле $K$ характеристики ноль может быть получено присоединением к некоторому вещественно замкнутому полю корня неприводимого многочлена $x^{2}+1$ . Более того, для любого вещественного подполя $K$ можно добиться того, чтобы такое вещественно замкнутое поле содержало его в качестве подполя.

Вещественным замыканием вещественного подполя $L\in K$ в вещественном поле $K$ называется множество всех вещественных над $L$ элементов поля $K$ . Вещественное замыкание подполя $L$ в вещественном поле $K$ само является подполем $K$ . Вещественное замыкание подполя $L$ в вещественно замкнутом поле будет вещественным замыканием поля $L$ . Множество вещественных элементов не вещественного поля над вещественным подполем не обязано быть вещественным полем.

Примеры:

Вещественное замыкание поля $\mathbb {Q}$ есть поле вещественных алгебраических чисел. Оно может быть получено как вещественное замыкание поля $\mathbb {Q}$ в $\mathbb {R}$ .

Примечания править

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Ван дер Варден, 1979, с. 285.
↑ ¹ ² ³ Прасолов, 1999, с. 46.
↑ ¹ ² ³ nlab, 2. Examples.
↑ ¹ ² Ван дер Варден, 1979, с. 294.
↑ nlab, 1. Definition.
↑ Berr, 1999, с. 238.
↑ Ван дер Варден, 1979, с. 295.
↑ Ван дер Варден, 1979, с. 290.
↑ Прасолов, 1999, с. 47.
↑ ¹ ² Ван дер Варден, 1979, с. 289.
↑ ¹ ² Ван дер Варден, 1979, с. 286.
↑ Ван дер Варден, 1979, с. 286-287.
↑ Ван дер Варден, 1979, с. 288.
↑ nlab2, 1. Definition.
↑ nlab2, 2. Properties.
↑ Ван дер Варден, 1979, с. 291.

Литература править

Б. Л. Ван дер Варден. Алгебра (рус.). — Москва: Наука, 1979. — 623 с.
В. В. Прасолов. Семнадцатая проблема Гильберта // Математическое образование. — 1999. — Vol. 1(8). — P. 45-66.
Formally real field (англ.). https://ncatlab.org. Дата обращения: 10 октября 2023.
real closed field (англ.). https://ncatlab.org. Дата обращения: 1 мая 2024.
R. Berr, F. Delon, J. Shmidt. Ordered fields and the ultrafilter theorem // Fundamenta Mathematicae. — 1999. — Vol. 159. — P. 231-241.

[_5949db61174ed76a-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Ван дер Варден, 1979, с. 285.

[_103bfeb636e83c32-2] ¹ ² ³ Прасолов, 1999, с. 46.

[_953e821c6855723b-3] ¹ ² ³ nlab, 2. Examples.

[_5949da61174ed598-4] ¹ ² Ван дер Варден, 1979, с. 294.

[_41d140ec7c87bc40-5] , 1. Definition.

[_ee25cf7dca3a067b-6] Berr, 1999, с. 238.

[_5949da61174ed599-7] Ван дер Варден, 1979, с. 295.

[_5949da61174ed59c-8] Ван дер Варден, 1979, с. 290.

[_103bfeb636e83c33-9] Прасолов, 1999, с. 47.

[_5949db61174ed766-10] ¹ ² Ван дер Варден, 1979, с. 289.

[_5949db61174ed769-11] ¹ ² Ван дер Варден, 1979, с. 286.

[_de71ab13427e50df-12] Ван дер Варден, 1979, с. 286-287.

[_5949db61174ed767-13] Ван дер Варден, 1979, с. 288.

[_7b62962d5b1a1b02-14] 2, 1. Definition.

[_deb642c5c9591cd7-15] 2, 2. Properties.

[_5949da61174ed59d-16] Ван дер Варден, 1979, с. 291.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]