Временное среднее

Временно́е среднее функции по траектории динамической системы — это предел чезаровских средних значений функции в точках траектории.

Рассмотрим динамическую систему c дискретным временем, заданную итерациями отображения $f\colon X\to X$. Пусть на фазовом пространстве $X$ задана функция $\varphi \colon X\to \mathbb {R}$. Частичным временны́м средним функции $\varphi$ по орбите точки $x$ за $n$ шагов называется чезаровское среднее значений функции в точках орбиты:

${\bar {\varphi }}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\varphi \circ f^{k}(x)$.

Временны́м средним называется предел частичных временных средних при $n\to \infty$:

${\bar {\varphi }}(x)=\lim _{n\to \infty }{\bar {\varphi }}^{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}\varphi \circ f^{k}(x)$

Для системы с непрерывным временем временное среднее определяется следующим образом. Пусть преобразование фазового потока задаётся функцией $f(\cdot ;t)\colon X\to X$. Тогда временное среднее определяется как предел следующего вида:

${\bar {\varphi }}(x)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\varphi \circ f(x;t)\,dt$

Одним из важных результатов эргодической теории является равенство временных и пространственных средних (т.е. интеграла по пространству) непрерывных функций для почти всех траекторий эргодических систем.

Пример Боуэна даёт пример системы, в которой типичная непрерывная функция не имеет временных средних для почти всех начальных условий.

Ссылки

• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.