Выпуклый многоугольник

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Пентаграмма вписанная в правильный выпуклый пятиугольник: все диагонали лежат внутри

Определения

Существует множество эквивалентных определений:

• многоугольник является выпуклым, если часть плоскости, им ограниченная (плоский многоугольник) является выпуклым множеством;
• многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём;
• многоугольник, для которого продолжения сторон не пересекают других его сторон;
• многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180°;
• многоугольник, все диагонали которого полностью лежат внутри него;
• выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
• ограниченное множество, являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей.

Примеры

• Любой треугольник является выпуклым.

Площадь выпуклого многоугольника

• Пусть $\{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n$ последовательность координат соседних друг другу вершин $n$-угольника без самопересечений. Тогда его площадь вычисляется по формуле:

$S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|$, где $(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})$.

Вариации и обобщения

• Выпуклое множество
• Аналогом выпуклого многоугольника в трёхмерном евклидовом пространстве является выпуклый многогранник.

См. также

• Выпуклое тело
• Выпуклая оболочка
• Симплекс