Выпучивание

Выпучивание — потеря устойчивости конструкции при приложении внешней нагрузки, сопровождаемая изменением формы.

Задача Эйлера

Пусть для тонкой балки с постоянным поперечным сечением (S), опора которой имеет шарнирное неподвижное закрепление, а на второй конец закреплённый на подвижном шарнире, действует сила (P) направленная вдоль оси. Тогда при малой силе, напряжение в балке определяется выражением $\sigma =P/S\,.$ При увеличении силы после достижения критического значения происходит выпучивание, и балка приобретает кривизну

$\kappa =\pm {\frac {M}{EI}}\,,$

где M — изгибающий момент, I — минимальный момент инерции сечения балки, E — модуль Юнга. Для пологой кривой кривизна запишется через прогиб $v$ в виде

$\kappa =\mp {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\,,$

где изгибающий момент равен $M=\pm Pv\,.$ Тогда

$EI{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=-Pv\,.$

Это дифференциальное уравнение второго порядка решается для граничных условий закрёплённых концов или v(0)=v(l)=0, где l — длина балки. Что приводит к синусоидальной форме балки и значению для критической силы

$P_{c}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}\,,$

которая называется формулой Эйлера.

Литература

• Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1967. — 984 с.