Геодезическая кривизна

Геодезическая кривизна $k_{g}$ кривой $\gamma$ в римановой геометрии измеряет, насколько сильно кривая отличается от геодезической. Например, для 1D кривой на 2D поверхности, вложенной в 3D пространство, это кривизна кривой, спроецированной на плоскость, касательную к поверхности. Более общо, в заданном многообразии ${\bar {M}}$ геодезическая кривизна ― это обычная кривизна кривой $\gamma$ (см. ниже). Однако если кривая $\gamma$ лежит в подмногообразии $M$ многообразия ${\bar {M}}$ (например, для кривизны поверхности), геодезическая кривизна относится к кривизне $\gamma$ в $M$, и она отличается в общем виде от кривизны $\gamma$ в объемлющем многообразии ${\bar {M}}$. (Объемлющая) кривизна $k$ кривой $\gamma$ зависит от двух факторов ― кривизны подмногообразия $M$ в направлении $\gamma$ (нормальная кривизна $k_{n}$), которая зависит только от направления кривой и кривизны $\gamma$ в многообразии $M$ (геодезическая кривизна $k_{g}$), которая является величиной второго порядка. Связь между ними ― $k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}$. В частности, геодезические на $M$ имеют нулевую геодезическую кривизну («прямые»), так что $k=k_{n}$.

Определение

Рассмотрим кривую $\gamma$ на многообразии ${\bar {M}}$, параметризованную длиной кривой, с единичным касательным вектором $T=d\gamma /ds$. Её кривизна равна норме ковариантной производной вектора $T$: $k=\|DT/ds\|$. Если $\gamma$ лежит на $M$, геодезическая кривизна равна норме проекции ковариантной производной $DT/ds$ на касательное пространство подмногообразия. Напротив, нормальная кривизна равна норме проекции $DT/ds$ на нормальное расслоение подмногообразия в рассматриваемой точке.

Если объемлющее многообразие является евклидовым пространством $\mathbb {R} ^{n}$, то ковариантная производная $DT/ds$ равна обычной производной $dT/ds$.

Пример

Пусть $M$ будет единичной сферой $S^{2}$ в трёхмерном евклидовом пространстве. Нормальная кривизна сферы $S^{2}$ равна 1, независимо от рассматриваемого направления. Большие круги имеют кривизну $k=1$, так что они имеют нулевую геодезическую кривизну, а потому являются геодезическими. Меньшие круги радиуса $r$ будут иметь кривизну $1/r$ и геодезическую кривизну $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$.

Некоторые результаты, использующие геодезическую кривизну

• Геодезическая кривизна ― это ничто иное, чем обычная кривизна, вычисленная в подмногообразии $M$. Она не зависит от способа размещения подмногообразия $M$ в ${\bar {M}}$.
• Геодезическая на $M$ имеет нулевую геодезическую кривизну, что эквивалентно высказыванию, что $DT/ds$ ортогонален касательному пространству к $M$.
• С другой стороны, нормальная кривизна строго зависит от того, как подмногообразие расположено в объемлющем пространстве, но мало от кривой ― $k_{n}$ зависит только от точки на многообразии и направления $T$, но не от $DT/ds$.
• В общей римановой геометрии производная вычисляется с помощью связности Леви-Чивиты ${\bar {\nabla }}$ объемлющего многообразия: $DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T$. Она распадается на касательную часть и нормальную часть для подмногообразия ― ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }$. Касательная часть является обычной производной $\nabla _{T}T$ в $M$ (это частный случай уравнения Гаусса для Уравнения Петерсона ― Кодацци), в то время как нормальная часть равна $\mathrm {I\!I} (T,T)$, где $\mathrm {I\!I}$ означает вторую квадратичную форму.
• Формула Гаусса — Бонне.

См. также

• Кривизна
• Поверхность Дарбу
• Уравнения Петерсона ― Кодацци

Литература

• Manfredo P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. — Prentice-Hall, 1976. — ISBN 0-13-212589-7.
• Heinrich Guggenheimer. Surfaces // Differential Geometry. — Dover, 1977. — ISBN 0-486-63433-7.
• Yu.S. Slobodyan. Geodesic curvature // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Geodesic curvature (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.