Геодезическая система координат

Геодези́ческая систе́ма координа́т — система координат, используемая для определения местоположения объектов на Земле. Отсчётной поверхностью является эллипсоид вращения или Ортогональная система координат, представляющий собой референц-версию, то есть адаптированный к какой-либо территории датум, геоцентрической системы координат.

Так как форма Земли является не шаром, для которого подходили бы астрономические координаты, а эллипсоидом, у которого отвесная линия не совпадает с нормалью к его поверхности, для измерений на поверхности планеты приходится использовать не астрономические, а геодезические координаты. При составлении географических карт этим отклонением пренебрегают.

Геодезические координаты используются в геодезии и навигации, в топографической съемке и картографии, а также спутниковыми навигационными системами для определения местоположения объектов на Земле в реальном времени. Положение точки в геодезической системе координат характеризуется математическими координатами абсциссой — $Y,$ ординатой — $X$ и аппликатой — $Z,$ и астрономическими:широтой — $B,$ долготой — $L$ и зенитом — $H.$ Которые, в свою очередь, взаимосвязаны между собой через геодезический азимут.

Геодезическая прямоугольная система координат (Математическая локальная)

Рисунок 1. Проекция приведенной широты на ось абсцисс.

В геодезии используют прямоугольную систему координат, начало $O$ которой находится в центре масс Земли, ось $Z$ направлена по оси вращения Земли, ось $X$ совмещена с линией пересечения плоскостей экватора и начального (гринвичского) меридиана, ось $Y$ дополняет систему до правой. Такую систему координат называют геоцентрической или общеземной. В общеземной системе координат определяют положение пунктов на всей поверхности Земли. К таким можно отнести WGS-84, GRS80, ПЗ-90.

Если система координат введена для определения положения точек на части земной поверхности, например, на территории одного государства, её начало $O$ может быть значительно (до сотен метров) смещено относительно центра масс. В этом случае говорят о референцной системе координат.

Из-за неизбежных ошибок измерений при практическом задании общеземной системы возможно несовпадение её начала с центром масс Земли и повороты осей. В связи с этим существуют несколько реализаций общеземной геоцентрической системы координат, и возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой. Задача преобразования координат возникает также при переходе от референцной системы координат к общеземной и обратно.

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при одновременном переносе начала системы и повороте осей выполняют с помощью преобразования Гельмерта. Преобразование Гельмерта это преобразование с 7 элементами, с 3 параметрами смещения $c_{x},~c_{y},~c_{z},$ 3 параметрами разворота $r_{x},~r_{y},~r_{z}$ и 1 масштабным параметром $s.$ Преобразование Гельмерта — это приближённый метод, который можно считать точным только, когда параметры преобразования малы по сравнению с величинами векторов геоцентрической системы координат или такие параметры не учитываются. С такими условиями преобразование можно считать обратимым. Прочие последующие преобразование (преобразование Молоденского — 10 параметров и преобразование Молоденского — Бадекаса — 14 параметров), учитывающие дополнительные данные, осуществляются в несколько этапов, сложны и, как правило, необратимы. ввиду чего такие системы координат создаются строго на локальных участках с помощью Геодезических сетей III, IV классов, 1 и 2 разрядов. И используемые для решения исключительно прикладных задач на территории по площади не превышающей 3000—5000 км².

Геодезическая эллипсоидальная система координат (Астрономическая глобальная)

Рисунок 2. Геодезическая эллипсоидальная система координат.

Геодезическая эллипсоидальная система координат $B,~L,~H$ связана с эллипсоидом. Координатными линиями в этой системе являются нормали к эллипсоиду.

Геодезическая широта $B$ — это угол между нормалью $PP_{o}~O_{p}$ к эллипсоиду и плоскостью экватора.

Геодезическая долгота $L$ — угол между плоскостью $Y=0$ начального меридиана и плоскостью $ZOP$ меридиана точки $P.$

Геодезическая высота $H$ — отрезок $P_{o}~P$ нормали к эллипсоиду^[как?].

Формулы перехода

Рисунок 3. Связь геодезических прямоугольной и эллипсоидальной систем координат.

Геодезические прямоугольные и эллипсоидальные системы согласованы друг с другом. Центры этих систем совмещены, ось $Z$ прямоугольной системы проходит вдоль малой оси эллипсоида, оси $X$ и $Y$ совпадают. Связь систем устанавливают формулы представленные ниже.

Прямой переход

$X=(N+H)\cos B\cos L;$

$Y=(N+H)\cos B\sin L;$

$Z=(N+H-Ne^{2})\sin B,$

где $N$ — радиус кривизны первого вертикала, равный отрезку $O_{p}~P_{o}$ на рисунке 3, $e$ — эксцентриситет.

$N$ находится по формуле:

$N=a/\surd (1-e^{2}\sin ^{2}B),$

где $a$ — большая полуось эллипсоида.

Обратный переход

От геодезических эллипсоидальных координат к прямоугольным выполняют следующим образом: определяют долготу $L$ и радиус $Q$ параллели точки $P$ — отрезок $OP1.$ Это возможно сделать разными способами, например:

$tgL=Y/X;Q=X\cos L+Y\sin L,$

или:

$Q={\sqrt {(}}X^{2}+Y^{2});\sin L=Y/Q;\cos L=X/Q.$

Для широты находят:

$tgB=(Z+Ne^{2}\sin B)/Q.$

Широту $B$ вычисляют методом приближений, причем в начальном приближении можно использовать разные её значения. Наиболее удобно найти в первом приближении приведенную широту $u$ точки $P1$ отсчетного эллипсоида, лежащего на пересечении его поверхности с радиусом-вектором внешней точки $P$:

$\operatorname {tg} u=Z/(Q{\sqrt {(}}1-e^{2})/$

Приведенной широтой точки $P1$ эллипсоида называют геоцентрическую широту точки $P',$ являющейся проекцией точки $P1$ на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости экватора. Приведенная и геодезическая широта связаны равенством:

$\operatorname {tg} u={\sqrt {(}}1-e^{2})\operatorname {tg} B.$

После вычисления приведенной широты геодезическую широту находят по формуле Боуринга:

$\operatorname {tg} B=(Z+e^{2}(a\sin ^{3}a)/({\sqrt {(}}1-e^{2})\operatorname {tg} B))/(Q-e^{2}a\cos ^{3}a)$

Геодезическую высоту $H$ вычисляют по формуле:

$H=Q\cos B+Z\sin B-a{\sqrt {(}}1-e^{2}\sin ^{2}B)$.

Референцные (Аппроксимированные приближенные)

Отсчетный эллипсоид может располагаться внутри Земли по-разному. Если центр эллипсоида совмещен с центром масс Земли, а его поверхность близка к поверхности геоида, то эллипсоид называют геоцентрическим, не стоит путать с общеземным. Если эллипсоид близок к геоиду на ограниченной площади, а центр его смещен относительно центра масс, его называют референц-эллипсоидом. Референц-эллипсоид, как правило, устанавливается для использования в геодезический работах в той или иной стране, отсюда и его название (референция, то есть рекомендация).

Данная система, основанная на Референц-эллипсоиде, поддерживалась и использовалась в ряде научных и прикладных задач до 1961 пунктами Лапласа и астропунктами II класса, которые были частично обращены в Геодезические сети сгущения II класса, и продолжались использоваться как экспедиционные пункты II класса преимущественно в необжитых и мало обжитых районах, как обоснования для мелкомасштабных географических съемок. После 1961 г геодезические сети II класса начинают строить в виде сплошных сетей треугольников, полностью заполняющих полигоны АГС I. Работы по созданию государственной геодезической сети были в основном закончены к 1989 году. Сеть пунктов I-го и II-го классов сплошь покрывала территорию страны. В 1990 году приказом ГУГК при Совете Министров СССР создано опытно-производственное подразделение МАГП (Московского аэрогеодезического предприятия) для производства работ с использованием спутниковых систем в соответствии с концепцией перехода топографо-геодезического производства на современные методы спутниковых определений, получившее наименование ВАГП (Верхневолжского аэрогеодезического предприятия). Результаты работ проводимых в 1991 показали не удовлетворительное состояние сети. В 1993—1995 в уравнивание включены: Космическая и Доплеровская сети (служившие основанием для Геоцентрической системы ПЗ-90). В 1996 было проведено заключительного уравнивания и к концу 1990-х, построена сеть из 134 опорных пунктов ГГС включавших 35 пунктов КГС и ДГС, покрывающая всю территорию страны при среднем расстоянии между смежными пунктами 400—500 км.

Постановлением правительства РФ от 24 ноября 2016 года за номером 1240 использование системы координат СК-42 допускается до 1 января 2021 г. Взамен вводится геоцентрическая система ГСК-2011 основанная на ПЗ-90 (являющаяся датумом общеземного элипсоида ITRF).

Земной эллипсоид

Эллипсоид можно задать двумя параметрами:

Параметр	Символ
Большая полуось	а
Геометрическое сжатие	$1/f$

Из а и $1/f$ можно вывести другие параметры эллипсоида:

Параметр	Символ
Малая полуось	$b=a(1-f)$
Первый эксцентриситет	$e^{2}=1-b^{2}/a^{2}=f(2-f)$
Второй эксцентриситет	$e'^{2}=a^{2}/b^{2}-1=(f(2-f))/(1-f)^{2}$

Список литературы

• Огородова Л. В. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия, Москва, Геодезкартиздат 2006. ISBN 5-86066-076-6
• Сайт Информационно-аналитического центра координатно-временного и навигационного обеспечения. Прикладной потребительский центр ГЛОНАСС.

Ссылки

• https://geographiclib.sourceforge.io (включает в себя утилита CartConvert, который преобразует геодезические координаты в геоцентрические (ECEF) или в локальные декартовые (ENU) координаты. Это обеспечивает точные результаты для всех входных данных, включая точки, близкие к центру Земли.
• https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/15285-geodetic-toolbox (Набор геодезических функций, которые решают различные задачи геодезии в среде Matlab).

См. также

• Геоцентрические координаты
• Статья геодезические данные
• Статья координатные системы