Геометрическое броуновское движение

Геометрическое броуновское движение (GBM) (реже, экспоненциальное броуновское движение, экономическое броуновское движение) — случайный процесс с непрерывным временем, логарифм которого представляет собой броуновское движение(винеровский процесс). GBM применяется в целях моделирования ценообразования на финансовых рынках и используется преимущественно в моделях ценообразования опционов, так как GBM может принимать любые положительные значения. GBM является разумным приближением к реальной динамике цен акций, не учитывающем, однако, редкие события (выбросы).

Случайный процесс S_t является GBM, если он удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:

$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}$

где $W_{t}$ есть броуновское движение, а $\mu$ («параметр сноса») и $\sigma$ («параметр волатильности») постоянны.

Для произвольного начального значения S₀ данное СДУ имеет решение

$S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right),$

что есть логнормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием $\mathbb {E} (S_{t})=e^{\mu t}S_{0}$ и дисперсией $\operatorname {Var} (S_{t})=e^{2\mu t}S_{0}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right).$

Корректность решения может быть установлена с использованием леммы Ито. Случайная величина log(S_t/S₀) распределена нормально с матожиданием $(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ и дисперсией $\sigma ^{2}t$, что означает, что приращения GBM нормальны (с учётом цены), что даёт основание говорить о «геометричности» процесса.