Геометрическое программирование

Геометрическое программирование — раздел математического программирования, изучающий подход к решению нелинейных задач оптимизации специальной структуры. Термин впервые ввели в 1967 году Р. Даффин, Э. Питерсон и К. Зенер. Название дисциплины связано с тем, что одним из основных в излагаемой теории является неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим и его обобщения. Предпосылкой к развитию ГП послужили некоторые геометрические задачи и методы их решения. Базовым понятием ГП является позином.

Формулировка задачи геометрического программирования

Найти минимальное значение функции $g_{0}(t)$ при ограничениях:

$t_{1}>0,t_{2}>0,...,t_{m}>0$

и

$g_{1}(t)\leqslant 1,g_{2}(t)\leqslant 1,...,g_{p}(t)\leqslant 1,$.

Здесь

$g_{k}(t)=\sum _{i\in J[k]}c_{i}t_{1}^{a_{i1}}t_{2}^{a_{i2}}...t_{m}^{a_{im}},k=0,1,...,p$,

где

$J[k]=(m_{k},m_{k}+1,m_{k}+2,...,n_{k})k=0,1,...,p$

и

$m_{0}=1,m_{1}=n_{0}+1,m_{2}=n_{1}+1,...,m_{p}=n_{p-1}+1,n_{p}=p$.

Функции $g_{k}(t)$ - позиномы.

Пример задач из геометрического программирования

Пример 1

Найти длины сторон прямоугольника заданного периметра, имеющего наибольшую площадь. То же для треугольника.

Пример 2

$\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{\beta _{i}}\rightarrow \max$

при ограничениях

$\sum \limits _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}=S,\ x_{i}>0,\ x_{i}\in \mathbb {R} ,$

где $\beta _{i}>0,\ \alpha _{i}>0,\beta _{i}\in \mathbb {R} ,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\ i={\overline {1,n}},$

Решением задачи является вектор $x_{}^{*}$ с компонентами $x_{i}^{*}={\frac {\beta _{i}S}{\alpha _{i}\beta }},$ где $\ \beta =\sum \limits _{i=1}^{n}\beta _{i}.$

Связанные результаты

• Моном
• Позином

Литература

• Р. Даффин, Э. Питерсон, К. Зенер. "Geometric Programming - Theory and Application". — 1967.
• Р. Даффин, Э. Питерсон, К. Зенер. Геометрическое программирование. — М.: Мир, 1972. — 311 с.