Гипотеза Артина

В теории чисел гипотеза Артина — это гипотеза о существовании и количественной оценке простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем. Гипотеза была высказана Эмилем Артином Хельмуту Хассе 27 сентября 1927 года, согласно дневнику последнего.

Формулировка

Для любого целого числа a, не являющегося точным квадратом и отличного от -1, существует бесконечно много простых чисел, по модулю которых a является первообразным корнем. Более того, для количества $N_{a}(x)$ таких простых чисел не превышающих x справедлива асимптотика: $N_{a}(x)\sim A(a){\frac {x}{\ln x}}$ при $x\to \infty ,$ где $A(a)$ — константа, зависящая только от a.

В настоящий момент неизвестно даже, верна ли гипотеза для конкретного числа a=2.

Пример

Число 2 является первообразным корнем, в частности, по модулю 3 и по модулю 5, но не по модулю 7. Последовательность простых чисел, по модулю которых 2 является первообразным корнем, начинается так:

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, … (последовательность A001122 в OEIS)

На данный момент остаётся открытым вопрос о бесконечности этой последовательности. Гипотеза Артина предполагает утвердительный ответ на этот вопрос.

См. также

• Малая теорема Ферма
• Открытые проблемы в теории чисел
• Открытые математические проблемы

Ссылки

• Сендеров В., Спивак А. Малая теорема Ферма // Квант. — 2000. — № 4. — С. 15—18.
• M. Ram Murty. Artin's conjecture for primitive roots (неопр.) // Mathematical Intelligencer. — 1988. — Т. 10. — С. 59—67. — doi:10.1007/BF03023749.
• К. Хооли. Применение методов решета в теории чисел. — Наука, 1987.