Гипотеза Бибербаха

Гипотеза Бибербаха — доказанное предположение, высказанное в 1916 году немецким учёным Л. Бибербахом относительно верхней границы коэффициентов разложения однолистных функций в ряд Тейлора.

Обозначим $\Delta$ — открытый единичный круг комплексной плоскости: $\Delta =\{z:|z|<1\}$.

$S$ — множество всех аналитических и однолистных в $\Delta$ функций $f(z)$, имеющих разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля вида:

$f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }c_{n}z^{n}.$

По гипотезе коэффициенты $|c_{n}|\leqslant n$, причём $c_{n}=n$ только для функций Кёбе вида

$k_{\theta }(z)={\frac {z}{(1-ze^{i\theta })^{2}}}.$

История доказательства гипотезы

• 1916 год — высказана гипотеза. Бибербахом доказана справедливость гипотезы при $n=2$.
• 1923 год — доказана гипотеза для $n=3$. Автор доказательства — Чарльз Лёвнер, для доказательства был создан параметрический метод Лёвнера.
• 1955 год — доказательство для $n=4$. Авторы — Гарабедян, Шиффер. Метод, использованный при доказательстве, был назван методом Шиффера.
• 1968, 1969 годы — две независимые работы с доказательством гипотезы для $n=6$ — Роджер Педерсон (Roger N. Pederson), Мицуру Одзава (Mitsuru Ozawa).
• 1972 год — доказана гипотеза для $n=5$ — Педерсон, Шиффер.

---

• 1925 год — Литлвуд доказывает, что $|c_{n}|\leqslant e\cdot n$ для любого $n$.
• 1951 год — Базилевич, Милин Исаак Моисеевич: доказано соотношение $|c_{n}|\leqslant e/2\cdot n+\mathrm {const}$.
• 1965 год — Милин: $|c_{n}|\leqslant 1{,}243\cdot n$.
• 1971 год — Милин: высказывает предположение, что сконструированная им последовательность логарифмических функционалов ( функционалы Милина) неположительна для любой функции из класса S и отмечает, что это свойство влечет доказательство гипотезы Бибербаха.
• 1972 год — Карл Фитцджеральд (Carl FitzGerald): $|c_{n}|\leqslant {\sqrt {7/6}}n$.
• 1984 год — доказательство верности гипотезы Бибербаха, автор — Луи де Бранж.

Ссылки

• Koepf W. Bieberbach’s conjecture, the de Branges and Weinstein functions and the Askey-Gasper inequality // The Ramanujan Journal, June 2007, Volume 13, Issue 1–3, pp 103–129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2