Гипотеза Даффина — Шаффера

Гипотеза Даффина — Шаффера — подтверждённая гипотеза в теории метрических чисел, предложенная Ричардом Даффином и Альбетром Шеффером в 1941 году: для всякой функции $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} ^{+}$ почти для всех $\alpha$ (относительно меры Лебега) неравенство:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}$

имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах $p,q$ ($q>0$) тогда и только тогда, когда:

$\sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty$,

где $\varphi (q)$ — функция Эйлера.

Полное доказательство дано в 2019 году Димитрисом Кукулопулосом и Джеймсом Мейнардом.

История

Из леммы Бореля — Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится. Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.

Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина — Шеффера. В 1970 году Пал Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа $c>0$ такая, что для каждого целого числа $n$ или $f(n)=c/n$, или $f(n)=0$. В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай $f(n)=O(n^{-1})$. Хейнс, Поллингтон и Велани в 2009 году ещё более усилили результат, гипотеза верна, если существует число $\varepsilon >0$, такое что ряд:

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon }\varphi (n)=\infty$.

В 1990 году был доказан многомерный аналог гипотезы.

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина — Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина — Шеффера, которая априори слабее.

Полное доказательство опубликовано Кукулопулосом и Мейнардом в 2019 году.

Литература

• Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
• Harman, Glyn (2002). «One hundred years of normal numbers». In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57-74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.
• Kevin Hartnett. New Proof Settles How to Approximate Numbers Like Pi // Quanta. — 2019. Архивировано 20 мая 2024 года.