Граф Клебша

В теории графов под графом Клебша понимается один из двух дополняющих друг друга графов, имеющих 16 вершин. Один из них имеет 40 рёбер и является 5-регулярным графом, другой имеет 80 рёбер и является 10-регулярным графом. 80-рёберный вариант — это половинный граф куба 5-го порядка. Назван графом Клебша в 1968 году Зайделем ввиду его связи с конфигурацией прямых поверхности четвёртого порядка, открытой 1868 году немецким математиком Альфредом Клебшем. 40-рёберный вариант – это складной граф куба 5 порядка. Он известен также под именем граф Гринвуда — Глизона после работы Гринвуда и Глизона , в которой они использовали этот граф для вычисления числа Рамсея R (3,3,3) = 17 .

Граф Клебша
Вершин	16
Рёбер	40
Радиус	2
Диаметр	2
Обхват	4
Автоморфизмы	1920
Хроматическое число	4
Свойства	Сильно регулярный Гамильтонов граф Граф без треугольников Граф Кэли Вершинно-транзитивен Рёберно-транзитивен Дистанционно-транзитивен
Медиафайлы на Викискладе

Построение

Складной граф куба 5-го порядка (5-регулярный граф Клебша) может быть построен добавлением рёбер между противоположными вершинами графа 4-мерного гиперкуба (В n-мерном гиперкубе пара вершин противоположна, если кратчайшее расстояние между ними содержит n рёбер). Его можно построить также из графа 5-мерного гиперкуба стягиванием каждой пары противоположных вершин.

Ещё одно построение, дающее тот же граф, заключается в создании вершины для каждого элемента конечного поля GF (16) и соединении двух вершин ребром, если разность соответствующих элементов поля является кубом.

Половинный граф куба 5-го порядка (10-регулярный граф Клебша) — это дополнение 5-регулярного графа. Его можно также построить из вершин 5-мерного гиперкуба путём соединения пар вершин, между которыми расстояние Хэмминга равно точно двум. Это построение образует два подмножества по 16 вершин в каждом, не связанных друг с другом. Оба полученных графа изоморфны 10-регулярному графу Клебша.

Свойства

5-регулярный граф Клебша является сильно регулярным графом 5-й степени с параметрами $(v,k,\lambda ,\mu )=(16,5,0,2)$. Его дополнение, 10-регулярный граф Клебша, тоже сильно регулярен .

5-регулярный граф Клебша является гамильтоновым, непланарным и не эйлеровым. Оба графа являются 5-вершинно связными и 5-рёберно связными. Подграф, порождённый десятью вершинами, не являющихся соседями какой-либо вершины в этом графе, изоморфен графу Петерсена.

Рёбра полного графа K₁₆ можно разделить на три несвязных копии 5-регулярного графа Клебша. Поскольку граф Клебша не содержит треугольников, это показывает, что существует трёхцветное раскрашивание без треугольников рёбер графа K₁₆. Таким образом, число Рамсея R (3,3,3), описывающее минимальное число вершин в полном графе при трёхцветном раскрашивании без треугольников, не может быть меньше 17. Гринвуд и Глизон использовали это построение как часть своего доказательства равенства R (3,3,3) = 17 .

5-регулярный граф Клебша является графом Келлера размерности два, и входит в семейство графов, используемых для поиска покрытия Евклидовых пространств большой размерности гиперкубами, не имеющими общих граней.

Алгебраические свойства

Характеристический многочлен 5-регулярного графа Клебша — это $(x+3)^{5}(x-1)^{10}(x-5)$. Таким образом, граф Клебша является целым графом – его спектр состоит полностью из целых чисел. Граф Клебша является единственным графом с таким характеристическим полиномом.

5-регулярный граф Клебша является графом Кэли c группой автоморфизмов порядка 1920, изоморфной группе Коксетера $D_{5}$. Как в любом графе Кэли, группа автоморфизмов действует транзитивно на его вершины, делая его вершинно-транзитивным. Фактически он является симметричным графом, а потому он рёберно-транзитивен и дистанционно-транзитивен.

Галерея

• 
  Граф Клебша является гамильтоновым.
• 
  Ахроматическое число графа Клебша равно 8.
• 
  Хроматическое число графа Клебша равно 4.
• 
  Хроматический класс графа Клебша равен 5.
• 
  Конструирование графа Клебша из графа гиперкуба.