Двадцатичетырёхъячейник

Двадцатичетырёхъячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) двадцатичетырёхъячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,4,3}
Ячеек	24
Граней	96
Рёбер	96
Вершин	24
Вершинная фигура	Куб
Двойственный политоп	Он же (самодвойственный)

Пра́вильный двадцатичетырёхъяче́йник, или просто двадцатичетырёхъяче́йник, или икоситетрахор (от др.-греч. εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и χώρος — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве.

Проекция вращающегося двадцатичетырёхъячейника в трёхмерное пространство

Ортогональная проекция вращающегося двадцатичетырёхъячейника на плоскость

Развёртка

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов. Символ Шлефли двадцатичетырёхъячейника — {3,4,3}.

Двойственен сам себе; двадцатичетырёхъячейник — единственный самодвойственный правильный политоп размерности больше 2, не являющийся симплексом. Этим обусловлена уникальность двадцатичетырёхъячейника: в отличие от пяти других правильных многоячейников, он не имеет аналога среди платоновых тел.

Описание

Ограничен 24 трёхмерными ячейками — одинаковыми октаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности $120^{\circ }.$

Его 96 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 96 рёбер равной длины, расположенных так же, как рёбра трёх тессерактов с общим центром. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 24 вершины, расположенные так же, как вершины трёх шестнадцатиячейников с общим центром. В каждой вершине сходятся по 8 рёбер, по 12 граней и по 6 ячеек.

Двадцатичетырёхъячейник можно рассматривать как полностью усечённый шестнадцатиячейник.

Двадцатичетырёхъячейник можно собрать из двух равных тессерактов, разрезав один из них на 8 одинаковых кубических пирамид, основания которых — 8 ячеек тессеракта, а вершины совпадают с его центром, и затем приложив эти пирамиды к 8 кубическим ячейкам другого тессеракта. В трёхмерном пространстве аналогичным образом можно из двух равных кубов собрать ромбододекаэдр — который, однако, не является правильным.

В координатах

Первый способ расположения

Двадцатичетырёхъячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы 8 из его вершин имели координаты $(\pm 2;0;0;0),$ $(0;\pm 2;0;0),$ $(0;0;\pm 2;0),$ $(0;0;0;\pm 2)$ (эти вершины расположены так же, как вершины шестнадцатиячейника), а остальные 16 вершин — координаты $(\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm 1)$ (они расположены так же, как вершины тессеракта; кроме того, те 8 из них, среди координат которых нечётное число отрицательных, образуют вершины другого шестнадцатиячейника, а прочие 8 — вершины третьего шестнадцатиячейника).

При этом ребром будут соединены те вершины, у которых все четыре координаты различаются на $1$ — либо одна из координат различается на $2,$ а остальные совпадают.

Начало координат $(0;0;0;0)$ будет центром симметрии двадцатичетырёхъячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Второй способ расположения

Кроме того, двадцатичетырёхъячейник можно разместить так, чтобы координаты всех его 24 вершин были всевозможными перестановками чисел $(\pm 1;\pm 1;0;0)$ (эти точки — центры 24 ячеек многоячейника, описанного в предыдущем разделе).

При этом ребром будут соединены те вершины, у которых какие-либо две координаты различаются на $1,$ а другие две совпадают.

Центром многоячейника снова будет начало координат.

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если двадцатичетырёхъячейник имеет ребро длины $a,$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

$V_{4}=2a^{4}=2{,}0000000a^{4},$

$S_{3}=8{\sqrt {2}}a^{3}\approx 11{,}3137085a^{3}.$

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

$R=a=1{,}0000000a,$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho _{1}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\approx 0{,}8660254a,$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

$\rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\;a\approx 0{,}8164966a,$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

$r={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a.$

Заполнение пространства

Двадцатичетырёхъячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Двадцатичетырёхъячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.