Дерево палиндромов

Дерево палиндромов (англ. palindromic tree, также овердрево, англ. eertree) — структура данных, предназначенная для хранения и обработки палиндромных подстрок некоторой строки. Была предложена учёными из Уральского федерального университета Михаилом Рубинчиком и Арсением Шуром в 2015 году. Представляет собой два префиксных дерева, собранных из правых «половинок» палиндромных подстрок чётной и нечётной длины соответственно. Структура занимает $O(n)$ памяти и может быть построена за время $O(n\log \sigma )$, где $n$ — длина строки, а $\sigma$ — количество различных символов в ней. С помощью дерева палиндромов можно эффективно решать такие задачи, как подсчёт числа различных палиндромных подстрок, поиск разбиения строки на наименьшее число палиндромов, проверка подстроки на то, является ли она палиндромом, и другие.

Дерево палиндромов
англ. eertree
Дерево палиндромов для строки eertree
Тип	структура данных
Год изобретения	2015
Автор	Михаил Рубинчик[d]
Сложность в О-символике
В худшем случае Построение $O(n\log \sigma )$ Расход памяти $O(n)$
Медиафайлы на Викискладе

Обозначения

Пусть $S=s_{1}s_{2}\dots s_{n}$ — некоторая строка, а $S^{R}=s_{n}s_{n-1}\dots s_{1}$ — обращённая строка $S$. При описании дерева палиндромов строки $S$ используются следующие обозначения:

• Строка $S$ называется палиндромом, если она читается одинаково слева направо и справа налево, то есть если $S=S^{R}$.

• Подстрокой называют непрерывную подпоследовательность строки $S$ и обозначают $S_{l,r}=s_{l}s_{l+1}\dots s_{r}$.

• В частности, подстрока, у которой $l=1$, называется префиксом строки $S$, а подстрока, у которой $r=n$, — суффиксом строки $S$.

• Палиндромной подстрокой (подпалиндромом) называют подстроку $S$, которая является палиндромом. Если эта подстрока также является префиксом или суффиксом строки $S$, то её называют префикс- или суффикс-палиндромом соответственно.

• Префиксным деревом называют корневое ориентированное дерево, дуги которого помечены символами таким образом, что из любой вершины $v$ этого дерева исходит не больше одной дуги, помеченной данным символом.

• Каждой вершине префиксного дерева соответствует строка, равная конкатенации символов на пути из корня дерева в эту вершину.

Структура дерева

В обозначениях выше, дерево палиндромов строки $S$ — это ориентированный граф, каждая вершина которого соответствует некоторому уникальному подпалиндрому строки и отождествляется с ним. Если у строки есть подпалиндромы $t$ и $ctc$, где $c$ — некоторый символ алфавита, то в дереве палиндромов есть дуга, помеченная символом $c$, из вершины, соответствующей $t$, в вершину, соответствующую $ctc$. В таком графе у любой вершины может быть только одна входящая дуга. Для удобства также вводятся две служебные вершины, которые соответствуют палиндромам длины $0$ (пустая строка) и $-1$ («мнимая» строка) соответственно. Дуги из пустой строки ведут в вершины, соответствующие палиндромам вида $cc$, а из «мнимой строки» — в вершины, соответствующие палиндромам вида $c$ (то есть состоящим из единственного символа). Вершина называется чётной, если ей соответствует палиндром чётной длины, и нечётной в противном случае. Из определения следует, что дуги в дереве палиндромов проходят только между вершинами с одинаковой чётностью. С точки зрения префиксных деревьев данная структура может быть описана следующим образом:

Вершины и дуги дерева палиндромов образуют два префиксных дерева, корни которых находятся в вершинах, задающих пустую и «мнимую» строки соответственно. При этом первое префиксное дерево составлено из правых половин подпалиндромов чётной длины, а второе — нечётной.

Количество вершин в дереве палиндромов не превосходит $n+2$, что является прямым следствием следующей леммы:

У строки $S$ длины $n$ может быть не больше $n$ различных непустых палиндромных подстрок. Более того, после приписывания некоторого символа $c$ в конец строки количество различных подпалиндромов данной строки может увеличиться не больше, чем на $1$.

Доказательство

Данное утверждение следует из следующих фактов:

1. Если палиндром $u$ — суффикс палиндрома $v$, то он также является его префиксом;
2. Если палиндромы $u$ и $v$ — суффиксы строки $w$ и $|u|<|v|$, то $u$ встречается в $w$ хотя бы два раза (как префикс и как суффикс $v$);
3. У любой строки $w$ может быть не больше одного уникального (встречающегося в $w$ всего один раз) суффикс-палиндрома.

Последнее свойство по сути эквивалентно лемме, так как все новые подстроки, которые появляются при дописывании очередного символа к строке, должны быть её суффиксами.■

Помимо обычных дуг, которые служат переходами для префиксного дерева, для каждой вершины дерева палиндромов определяется суффиксная ссылка, которая ведёт из вершины $v$ в вершину $u$, соответствующую наибольшему собственному (не равному всей строке $v$) суффикс-палиндрому $v$. При этом суффиксная ссылка из «мнимой» вершины не определена, а из пустой вершины по определению ведёт в «мнимую». Суффиксные ссылки образуют дерево с корнем в «мнимой» вершине и играют важную роль в построении дерева палиндромов.

Построение

Как и многие другие строковые структуры, дерево палиндромов строится итеративно. Изначально оно состоит лишь из вершин, соответствующих пустой и мнимой строкам. Затем структура постепенно перестраивается при наращивании строки по одному символу. Так как при добавлении одного символа в строке появляется не более одного нового палиндрома, перестройка дерева в худшем случае потребует добавления одной новой вершины и суффиксной ссылки к ней. Для определения возможной новой вершины в ходе построения дерева поддерживается указатель last на вершину, соответствующую наибольшему из текущих суффикс-палиндромов.

Все суффикс-палиндромы строки достижимы по суффиксным ссылкам из last, поэтому для определения нового суффикс-палиндрома (именно он будет соответствовать новой вершине, если таковая появится) необходимо переходить по суффиксным ссылкам last, пока не обнаружится, что символ, предшествующий текущему суффикс-палиндрому, совпадает с символом, который был приписан к строке. Более формально, пусть $P$ — максимальный суффикс-палиндром строки $S_{1,k}=s_{1}s_{2}\dots s_{k}$, тогда либо $P=s_{k}$, либо $P=s_{k}Qs_{k}$, где $Q$ — некоторый суффикс-палиндром $S_{1,k-1}$. Таким образом, перебирая $Q$ среди суффиксных ссылок last, можно определить, может ли он быть расширен до $P$ путём сравнения символов $s_{k-|Q|-1}$ и $s_{k}$. Когда соответствующий суффикс-палиндром $Q$ был найден, следует проверить, присутствует ли в дереве палиндромов переход из соответствующей ему вершины по символу $s_{k}$.

Если такой переход есть, то $P$ уже встречался в строке ранее и соответствует вершине, в которую ведёт этот переход. В противном случае необходимо создать для него новую вершину и провести переход по $s_{k}$ из $Q$. Затем следует определить суффиксную ссылку для $P$, которая соответствует второму максимальному суффикс-палиндрому $S_{1,k}$. Для того, чтобы её найти, следует продолжать обход суффиксных ссылок last, пока не встретится вторая вершина $Q$, такая что $s_{k-|Q|-1}=s_{k}$; именно эта вершина и будет суффиксный ссылкой $P$. Если обозначить переход из вершины $v$ по символу $c$ как $\delta (v,c)$, весь процесс может быть описан следующим псевдокодом:

функция find_link(v):
    пока sk-len(v)-1 ≠ sk:
        присвоить v = link(v)
    вернуть v

функция add_letter(c):
    присвоить k = k + 1
    определить sk = c
    определить q = find_link(last)
    если δ(q, c) не определено:
        определить p = new_vertex()
        определить len(p) = len(q) + 2
        определить link(p) = δ(find_link(link(q)), c)
        определить δ(q, c) = p
    присвоить last = δ(q, c)

Здесь предполагается, что изначально дерево описывается лишь двумя вершинами с длинами $0$ и $-1$ соответственно с суффиксной ссылкой из первой вершины во вторую. В переменной last хранится вершина, соответствующая наибольшему суффикс-палиндрому текущей строки, изначально она указывает на вершину нулевой строки. Также предполагается, что $k$ изначально равно $0$ и в $s_{0}$ записан некоторый служебный символ, который не встречается в строке $s_{1}s_{2}\dots s_{k}$.

Вычислительная сложность

Сложность алгоритма может варьировать в зависимости от структур данных, в которых хранится таблица переходов в дереве. В общем случае при использовании ассоциативного массива время, затрачиваемое на обращение к $\delta (q,c)$, достигает $O(\log \sigma )$, где $\sigma$ — размер алфавита, из символов которого построена строка. Стоит заметить, что каждая итерация первого вызова find_link уменьшает длину last, а второго — длину link(last), которые между последовательными вызовам add_letter могут увеличиться только на единицу. Таким образом, суммарное время работы find_link не превосходит $O(n)$, а общее время, требуемое для выполнения $n$ вызовов add_letter, можно оценить как $O(n\log \sigma )$. Расход памяти у данной структуры в худшем случае линейный, однако если рассматривать усреднённый размер структуры по всем строкам заданной длины $n$, средний расход памяти будет порядка $O({\sqrt {n\sigma }})$.

Модификации

Одновременно с введением данной структуры данных Рубинчик и Шур также предложили ряд модификаций, позволяющих расширить область задач, решаемых деревом палиндромов. В частности, был предложен метод, позволяющий с той же асимптотикой построить общее дерево палиндромов для множества строк $S_{1},S_{2},\dots ,S_{k}$. Такая модификация позволяет решать те же задачи, рассматриваемые в контексте множества строк — например, найти наибольший общий подпалиндром всех строк или число различных подпалиндромов всех строк в совокупности. Другой предложенной модификацией стал вариант построения дерева, при котором на добавление одного символа требуется $O(\log n)$ времени в худшем случае (а не $O(\log \sigma )$ амортизированно, как это происходит в стандартном построении) и $O(1)$ памяти. Такой подход позволяет обеспечить частичную персистентность дерева, при которой можно в произвольные моменты времени откатывать добавление последнего символа. Кроме того, была предложена полностью персистентная версия дерева, позволяющая обратиться и дописать символ к любой из сохранённых ранее версий за $O(\log n)$ времени и памяти в худшем случае.

В 2019 году Ватанабе с коллегами разработали на основе дерева палиндромов структуру данных, называемую e²rtre², для работы с подпалиндромами строк, заданных кодированием длин серий, а в 2020 году тот же состав авторов, совместно с Миено, разработали два алгоритма, позволяющих поддерживать дерево палиндромов на скользящем окне размера $d$. Первый из указанных алгоритмов требует $O(n\log \sigma )$ времени и $O(d)$ памяти, а второй — $O(n+d\sigma )$ времени и $O(d\sigma )$ памяти.

Применения

Дерево палиндромов даёт множество возможных применений для получения теоретически быстрых и практически легко реализуемых алгоритмов для решения ряда комбинаторных задач в программировании и математической кибернетике.

Одной из задач, для которых была разработана данная структура, является подсчёт различных подпалиндромов в строке в режиме онлайн. Она может быть поставлена следующим образом: к изначально пустой строке поочерёдно приписывается по одному символу. На каждом шаге необходимо вывести число различных подпалиндромов в данной строке. С точки зрения дерева палиндромов это эквивалентно тому, чтобы на каждом шаге вывести количество нетривиальных вершин в структуре. Линейное решение для оффлайн-версии данной задачи было представлено в 2010 году, а оптимальное решение со временем исполнения $O(n\log \sigma )$ для онлайн-версии было найдено в 2013 году. Указанное решение, однако, использовало две «тяжеловесные» структуры данных — аналог алгоритма Манакера, а также суффиксное дерево. Дерево палиндромов же, с одной стороны, имеет ту же асимптотику в худшем случае, а с другой — является значительно более легковесной структурой.

Другим возможным применением данной структуры является перечисление палиндромно-богатых двоичных строк. Ранее было показано, что слово длины $n$ может содержать не более $n+1$ различных палиндромов, палиндромно-богатыми называются слова, на которых данная оценка достигается. Понятие палиндромно-богатых слов было введено Эми Глен и коллегами в 2008 году. Рубинчик и Шур показали, что с помощью дерева палиндромов можно обнаружить все палиндромно-богатые слова, чья длина не превосходит $n$ за $O(R)$, где $R$ — количество таких слов. Данный результат позволил увеличить количество известных членов последовательности A216264 в OEIS c 25 до 60. Полученные данные показали, что последовательность растёт значительно медленнее, чем это предполагалось ранее, а именно она ограничена сверху как $O(1,605^{n})$.

Ссылки

• Дерево палиндромов  (неопр.). Вики-конспекты ИТМО.