Дираковская потенциальная гребёнка

Дираковская потенциальная гребёнка, в квантовой механике, периодический потенциал, образованный последовательностью δ-функций Дирака.

U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na),

где a — интервал между соседними сингулярными точками. Это простейшая модель, в которой возникает зонная структура спектра.

Уравнение Шрёдингера с потенциалом в виде дираковской потенциальной гребёнки

Уравнение Шрёдингера принимает вид

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\Psi (x)=E\Psi (x).

Вводя обозначение $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$ , получим:

\Psi ''(x)+\left(k^{2}-2\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\right)\Psi (x)=0.

В интервале $0<x<a$ уравнение принимает вид:

\Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0

и его общее решение равно

\Psi (x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}.

Так как потенциал периодический, то в интервале $a<x<2a$ решение имеет вид

\Psi (x)=e^{iKa}\left(C_{1}e^{ik(x-a)}+C_{2}e^{-ik(x-a)}\right).

Условие непрерывности волновой функции

\Psi (a+0)=\Psi (a-0).

Интегрируя уравнение Шрёдингера в окрестности точки $x=a$ , получим условие сшивки для производных:

\Psi '(a+0)=\Psi '(a-0)+2\Omega \Psi (a).

Учитывая эти условия, имеем:

e^{iKa}(A+B)=Ae^{ika}+Be^{-ika},

ike^{iKa}(A-B)=ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})+2\Omega (Ae^{ika}+Be^{-ika}).

Данное уравнение имеет нетривиальные решения при

\cos Ka=\cos ka+{\frac {\Omega }{k}}\sin ka.

Из этого следует, что зоны разрешённых значений энергии определяются неравенством

|\cos ka+{\frac {\Omega }{k}}\sin ka|\leqslant 1.

Соответствующий спектр энергий:

E={\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}(ka)^{2}.