Дробный идеал

В коммутативной алгебре, дробный идеал — это обобщение понятия идеала целостного кольца, особенно полезное при изучении дедекиндовых колец. Условно говоря, дробные идеалы — это идеалы со знаменателями. В случаях, когда одновременно обсуждаются дробные и обычные идеалы, последние называют целыми идеалами.

Основные определения

Пусть R — целостное кольцо, K — его поле частных. Дробный идеал кольца R — это R-подмодуль I поля K, такой что $rI\subseteq R$ для некоторого $r\in R$. Интуитивно, $r$ сокращается со знаменателями всех элементов I. Главные дробные идеалы — это дробные идеалы, порождённые (как R-модули) единственным элементом поля K. Дробный идеал содержится в R тогда и только тогда, когда он является целым идеалом R.

Для двух дробных идеалов I, J можно определить из произведение IJ как множество всех конечных сумм $\sum _{n}i_{n}j_{n},\ i_{n}\in I,\ j_{n}\in J$: произведение IJ также является дробным идеалом. Дробный идеал I называется обратимым, если существует дробный идеал J, такой, что IJ = R. Множество обратимых идеалов образует абелеву группу по произведению, тождественный элемент которой — само кольцо R. Эта группа называется группой дробных идеалов кольца R, главные дробные идеалы образуют в ней подгруппу. Ненулевой дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он является проективным R-модулем.

Случай дедекиндовых колец

Дедекиндовы кольца выделяются среди целостных колец тем свойством, что каждый ненулевой дробный идеал обратим. В этом случае факторгруппа группы дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов называется группой классов идеалов и является важным инвариантом дедекиндова кольца. Обобщение понятия группы классов идеалов на случай недедекиндовых колец (и даже общих окольцованных пространств) называется группой Пикара.

Дивизорные идеалы

Обозначим через ${\tilde {I}}$ пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал I. Эквивалентно,

${\tilde {I}}=(R:(R:I)),$

где

$(R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}$

Дробный идеал, получающийся в результате применения такой операции, называется дивизорным идеалом. Или, эквивалентно, дивизорные идеалы — это все дробные идеалы $I$, такие что ${\tilde {I}}=I.$ Произведение дивизорных идеалов является дивизорным идеалом, поэтому дивизорные идеалы образуют коммутативный моноид $D(R).$ Этот моноид является группой тогда и только тогда, когда кольцо R вполне целозамкнуто.

Дивизорные идеалы обычно рассматривают для колец Крулля, в этом случае простые идеалы высоты 1 являются дивизорными и образуют базис абелевой группы $D(R).$ Главные дробные идеалы являются дивизорными, факторгруппа $D(R)$ по подгруппе главных дробных идеалов называется группой классов дивизоров.

Примечания

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972 — глава 9.
• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971 — глава VII.
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461 — Chapter 11.