Задача о предписанной скалярной кривизне

Задача о предписанной скалярной кривизне заключается в построении римановой метрики с заданной скалярной кривизной. Эта задача в основном решена в статье Каждана и Уорнера.

Формулировка

Для данного закрытого, гладкого многообразия $M$ и гладкой вещественной функции $f\colon M\to \mathbb {R}$ построить риманову метрику на $M$, для которой скалярная кривизна равна $f$.

Решения

• Если размерность многообразия $M$ три или выше, то любая гладкая функция $f\colon M\to \mathbb {R}$, принимающая отрицательное значение является скалярной кривизной некоторой римановой метрики.

Предположение о том, что $f$ должна быть отрицательна в каких-то точках, необходимо, поскольку не все многообразия допускают метрику со строго положительной скалярной кривизной. Например, таким является трёхмерный тор. Однако верно следующее.

• Если $M$ допускает одну метрику со строго положительной скалярной кривизной, то любая гладкая функция $f\colon M\to \mathbb {R}$ является скалярной кривизной некоторой римановой метрики на $M$.

См. также

•   Задача Ямабе