Символ Гильберта

Символ Гильберта, или символ норменного вычета, — функция двух аргументов из $K^{\times }\times K^{\times }$ в группу корней $n$-й степени из единицы в локальном поле $K$ (например в поле действительных чисел или в поле p-адических чисел. Он связан с законами взаимности, и может быть определён через символ Артина локальной теории полей классов. Символ Гильберта был введён в его Zahlbericht, с небольшим отличием, что он определял его скорее для элементов глобальных полей, чем для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта обобщается на высшие локальные поля.

Квадратичный символ Гильберта

Пусть $K$ — локальное поле, а $K^{\times }$ — его мультипликативная группа ненулевых элементов. Квадратичный символ Гильберта над $K$ — это функция $(a,b)$ из $K^{\times }\times K^{\times }$ в $\{-1;1\}$, определённая как

$(a,b)={\begin{cases}1,&{\mbox{ если }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ имеет ненулевое решение }}(x,y,z)\in K^{3};\\-1,&{\mbox{ в противном случае.}}\end{cases}}$

Свойства

Следующие три свойства прямо следуют из определения с помощью выбора подходящего решения для диофантова уравнения, указанного в определении, и выполняются для любого локального поля $K$:

• $(a^{2},b)=1$ для любых $a,b$.
• $(a,b)=(b,a)$ для любых $a,b$.
• Для любого $a\in K^{\times }$, такого что $a-1\in K^{\times }$, верно, что $(a,1-a)=1$

Бимультипликативность, то есть

$(a,b_{1}b_{2})=(a,b_{1})\cdot (a,b_{2})$

для любых $a,b_{1},b_{2}\in K^{\times }$. Это свойство является более трудным для доказательства и требует разработки локальной теории полей классов.

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Штейнберга и, таким образом, factors над второй K-группе Милнора $K_{2}^{M}(K)$, которая определяется как

$K^{\times }\otimes K^{\times }/(a\otimes (1-a),a\in K\setminus \{0;1\})$

По первому свойству он even factors над $K_{2}^{M}(K)/2$. Это первый шаг в направлении к гипотезе Милнора.

Интерпретация как алгебры

Символ Гильберта может быть также использован для обозначения центральной простой алгебры над $K$ с базисом $1,i,j,k$ и правилами умножения $i^{2}=a$, $j^{2}=b$, $ij=-ji=k$.

Символы Гильберта над рациональными числами

Для точки (англ. place) $v$ из поля рациональных чисел и рациональных чисел $a,b$ обозначим $(a,b)_{v}$ символ Гильберта в соответствующем пополнении $\mathbb {Q} _{v}$. Как обычно, если $v$ это показатель, связанный с простым числом $p$, то соответствующее пополнение является полем $p$-адических чисел, а если $v$ является бесконечной точкой, то пополнение является полем действительных чисел.

В поле действительных чисел, $(a,b)_{\infty }=+1$ тогда и только тогда, когда $a>0$ или $b>0$, и $(a,b)_{\infty }=-1$, если оба $a,b<0$.

Над $p$-адическими числами с нечётным $p$ положим $a=p^{\alpha }u$ и $b=p^{\beta }v$, где $u,v$ — целые числа, взаимно простые с $p$, тогда мы получим

$(a,b)_{p}=(-1)^{\alpha \beta \epsilon (p)}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }$, где $\epsilon (p)=(p-1)/2$

а $\left({\frac {u}{p}}\right),\left({\frac {v}{p}}\right)$ — символы Лежандра.

Над $2$-адическими числами положим $a=2^{\alpha }u$ и $b=2^{\beta }v$, где $u,v$ — нечётные числа, тогда мы получим

$(a,b)_{2}=(-1)^{\epsilon (u)\epsilon (v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)}$, where $\omega (x)=(x^{2}-1)/8.$

Известно, что если $v$ пробегает все точки (англ. place), $(a,b)_{v}=1$ для почти всех точек. Следовательно, следующая формула с бесконечным произведением

$\prod _{v}(a,b)_{v}=1$

имеет смысл. Эта формула эквивалентна квадратичному закону взаимности.

Радикал Капланского

Символ Гильберта на поле $F$ определяется как отображение

$(\cdot ,\cdot ):F^{\times }/(F^{\times })^{2}\times F^{\times }/(F^{\times })^{2}\rightarrow \mathop {Br} (F)$

где $\mathop {Br} (F)$ — группа Брауэра поля $F$. Ядро этого отображения — множество всех элементов $a$ таких, что $(a,b)=1$ для всех $b$ — это радикал Капланского поля $F$.

Радикал является подгруппой $F^{\times }/(F^{\times })^{2}$, отождествляемой с подгруппой of $F^{\times }$. Радикал содержит группу, равную $F^{\times }$ если и только если $F$ не является формально вещественным и имеет u-инвариант не более 2. С другой стороны, поле с радикалом $(F^{\times })^{2}$ называется полем Гильберта.

Символ Гильберта в общем случае

Если $K$ локальное поле, содержащее группу корней $n$-й степени из единицы $U_{n}$ для некоторого $n$, взаимно простого с характеристикой $K$, то символ Гильберта — это функция из $K^{\times }\times K^{\times }$ в $U_{n}$. Его можно выразить через символ Артина как

$(a,b){\sqrt[{n}]{b}}=(a,K({\sqrt[{n}]{b}})/K){\sqrt[{n}]{b}}$

Свойства

Символ Гильберта мультипликативен по обеим аргументам (билинеен):

$(ab,c)=(a,c)(b,c)$

$(a,bc)=(a,b)(a,c)$

кососимметричен:

$(a,b)=(b,a)^{-1}$

невырожден:

$(a,b)=1$ для всех $b$ тогда и только тогда, когда $a\in (K^{\times })^{n}$

Он замечает норму (поэтому и называется символ норменного вычета):

$(a,b)=1$ тогда и только тогда, когда $a$ — норма элемента из $K({\sqrt[{n}]{b}})$

Он обладает свойствами символа Штейнберга:

$(a,1-a)=1;(a,-a)=1.$

Закон взаимности Гильберта

Закон взаимности Гильберта утверждает, что если $a,b$ лежат в поле алгебраических чисел, которое содержит корни $n$-й степени из единицы, то

$\prod _{p}(a,b)_{p}=1$

где $p$ пробегает конечные и бесконечные простые числового поля, а $(a,b)_{p}$ — это символ Гильберта в пополнении по $p$. Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта через символ Артина.

Символ степенного вычета

Если $K$ — числовое поле, содержащее корни $n$-й степени из единицы, $p$ — простой идеал, не делящий $n$, $\pi$ — простой элемент локального поля от $p$, а $a$ взаимно просто с $p$, то символ степенного вычета ${\binom {a}{p}}$, связанный с символом Гильберта соотношением

${\binom {a}{p}}=(\pi ,a)_{p}$

Символ степенного вычета расширяется до дробных идеалов по мультипликативности и определяется для элементов поля чисел, полагая ${\binom {a}{b}}={\binom {a}{(b)}}$, где $(b)$ — главный идеал, порождённый $b$. Закон взаимности Гильберта влечёт следующий закон взаимности для символа степенного вычета: для взаимно простых $a,b$ друг к другу и к $n$:

${\binom {a}{b}}={\binom {b}{a}}\prod _{p|n,\infty }(a,b)_{p}$

Литература

• З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. — М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
• Дж.Касселс, А.Фрёлих. Алгебраическая теория чисел. — М.:Мир, 1969.
• К.Ивасава. Локальная теория полей классов. — М.:Мир, 1983.
• Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkorper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (нем.), 4: 175—546, ISSN 0012-0456
• Hilbert, David (1998), The theory of algebraic number fields, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62779-1, MR 1646901
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studies in Mathematics, vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, Zbl 1068.11023
• Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Princeton University Press, MR 0349811, Zbl 0237.18005
• Neukirch, Jurgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Translated from the German by Norbert Schappacher, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956.11021
• Serre, Jean-Pierre (1996), A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, vol. 7, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-90040-5, Zbl 0256.12001
• Vostokov, S. V.; Fesenko, I. B. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, vol. 121, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, Zbl 1156.11046

Ссылки

• [1] на encyclopediaofmath
• HilbertSymbol на Mathworld