Изгиб пластин в теории упругости относится к расчёту деформаций в пластинах (в общем случае произвольной толщины, но малым по сравнению с продольными размерами), под действием перпендикулярных к плоскости пластины внешних сил и моментов. Величину отклонения можно определить, решив дифференциальные уравнения соответствующей теории пластин в зависимости от допущений на малость тех или иных параметров. По этим прогибам можно рассчитать напряжения в пластине. При известных напряжениях можно использовать теорию разрушения, чтобы определить, нарушение целостности плиты при данной нагрузке. Деформация пластины является функцией двух координат, поэтому теория пластин формулируется в общем случае в терминах дифференциальных уравнений в двумерном пространстве. Также считается, что пластина изначально (в ненапряжённом состоянии) имеет плоскую форму.

Изгиб круглой пластины с закреплёнными краями под действием пореречной силы. Левая половина пластины показывает деформированную форму, а правая половина — недеформированную. Этот расчет произведён с использованием программы Ansys.

Изгиб пластин в теории Кирхгофа — Лява

править
 
Силы и моменты действующие на плоской пластины для рассчёта равновесия элементарного объёма

Определения

править

Для тонкой прямоугольной пластины толщиной  , модулем Юнга   и коэффициентом Пуассона  , можно определить упругие параметры в терминах прогиба пластины  .

В декартовой системе координат жёсткость при изгибе определяется

 

Моменты

править

Изгибные моменты на единицу длины задаются[1]

 
 

Крутящий момент на единицу длины определяется

 

Сдвиговые силы на единицу длины определяются выражением[2]

 
 

Напряжения

править

Компоненты изгибных напряжений определяются выражением

 
 

Напряжение сдвига задается

 

Деформации

править

Изгибающие деформации в теории для малых отклонений определяются

 
 

Деформации сдвига в теории для малых отклонений задаются

 

В теории для больших отклонений пластин рассматривают деформации мембран в виде

 
 
 

Прогибы

править

Эти прогибы определяются

 
 

В теории пластин Кирхгофа — Лява система определяющих уравнений состоит из[3]

 

и

 

Или в развёрнутой (координатной) форме

 

и

 

где   приложенная поперечная нагрузка на единицу площади, а толщина плиты равна  , напряжения  , и

 

Величина   имеет размерность единицы силы на единицу длины. Величина   имеет размерность единицы момента на единицу длины.

Для изотропных, однородных пластин с модулем Юнга   и коэффициентом Пуассона   эти уравнения сводятся к[4]

 

где   прогиб средней поверхности пластины.

Малые прогибы тонких прямоугольных пластин

править

Малые прогибы тонких прямоугольных пластин описываются уравнением тонкой пластины Жермен — Лагранжа

 

Это уравнение было впервые выведено Лагранжем в декабре 1811 г. который исправил доклад Софи Жермен.

Большой прогиб тонких прямоугольных пластин

править

Большой прогиб тонких прямоугольных пластин описывается уравнениями для пластины Феппля — фон Кармана

 
 

где   функция напряжения.

Круглые пластины Кирхгофа-Лява

править

Изгиб круглых пластин можно изучить, решив основное уравнение с соответствующими граничными условиями. Эти решения были впервые найдены Пуассоном в 1829 году. Для таких задач удобны цилиндрические координаты. z расстояние точки от средней плоскости пластины.

Основное уравнение в безкоординатной форме имеет вид

 

В цилиндрических координатах  ,

 

Для симметрично нагруженных круглых пластин, где изгиб зависит от только радиуса   получим

 

Следовательно, основное уравнение приобретёт вид обыкновенного дифференциального уравнения[5]

 

Если   и   постоянны, то прямое интегрирование основного уравнения имеет решение

 

где   константы интегрирования. Наклон отклоняющей поверхности равен

 

Для круглой пластины требование конечности прогиба и крутизны прогиба при   подразумевает, что  . Однако,   не обязательно равняется 0, так как правый предел   существует по мере приближения к началу координат  .

Закрепленные края

править

Для круглой пластины (радиуса a) с зажатыми краями   и   на краю пластины. Подставляя эти граничные условия в общее решение получаем[6]

 

Смещения пластины в плоскости равны

 

Плоские деформации в пластине равны

 

Напряжения в плоскости пластины равны

 

Для плиты толщиной  , жесткость на изгиб   и

 

Результирующие моменты (изгибные моменты) равны

 

Максимальное радиальное напряжение при   и  :

 

где  . Изгибающие моменты на границе и в центре пластины равны[7]

 

Круговая пластина нагруженная силой зависящей от радиуса

править

[8]

Прямоугольные пластины Кирхгофа-Лява

править
 
Изгиб прямоугольной пластины под действием распределенной силы   на единицу площади.

Для прямоугольных пластин Навье в 1820 году ввел простой метод определения смещения и напряжения, когда пластина опирается на края. Идея заключалась в том, чтобы выразить приложенную нагрузку в терминах компонент ряда Фурье, найти решение для синусоидальной нагрузки (одна гармоника Фурье), а затем сложить гармоники Фурье, чтобы получить решение для произвольной нагрузки.

Синусоидальная нагрузка

править

Предположим, что нагрузка имеет вид[9]

 

Здесь   амплитуда,   ширина пластины в направлении   и   ширина пластины в направлении  .

Поскольку пластина просто поддерживается на краях, то смещение   на краях пластины равно нулю, и изгибающий момент   также равен нулю на границах   и  ,   равен нулю на границах   и  .

При этих граничные условиях и решение уравнения для пластины имеет вид[10]

 

Где D жесткость на изгиб

 

Analogous to flexural stiffness EI.[11] Напряжения и деформации в пластине можно рассчитать, если знаем смещение.

При общей нагрузки в виде

 

где   и   целые, получим решение[12]

 

Решение Навье

править

Уравнение для двумерного тригонометрического ряда

править

Определяем общую нагрузку   в виде[12]

 

где   коэффициент Фурье, определяемый формулой[13]

 .

Таким образом, классическое уравнение прямоугольной пластины для малых прогибов принимает следующий вид:

 

Свободно опёртая пластина с общей нагрузкой

править

Предполагаем решение   вида

 

Частные дифференциалы этой функции даются выражениями

 
 
 

Подставляя эти выражения в уравнение для пластины, получим

 

Приравнивая два ряда получим для коэффициентов

 

или при перестановки получим

 

Прогиб свободно опертой пластины (на углах) при общей нагрузке задаётся выражением[13]

 

Свободно опёртая пластина с постоянной нагрузкой

править

Для равномерно распределенной нагрузки имеем

 

Таким образом, соответствующий коэффициент Фурье определяется выражением

 .

Вычисляя двойной интеграл, имеем

 ,

или в другом виде кусочно-заданной функции

 

Прогиб свободно опертой пластины (с условиями на углах) с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражением

 

Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражением

 
 

Решение Леви

править

Другой подход был предложен Леви[14] в 1899 году. В этом случае мы начинаем с предполагаемой формы смещения и пытаемся подогнать параметры так, чтобы выполнялись определяющее уравнение и граничные условия. Цель — найти рашения основного уравнения    такие, что они удовлетворяют граничным условиям при   и  .

Предположим, что[15]

 

Для пластины, которая свободно опирается краями при   и  , граничные условия:   и  . Обратите внимание, что на этих краях нет изменений смещения, что означает   и  , сводя, таким образом, моментное граничное условие к эквивалентному выражению  .

Моменты на краях

править

Рассмотрим случай чисто моментной нагрузки. В этом случае   и функция   должна удовлетворять уравнению  . В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение выражается как

 

Подставляем выражение для   в основное уравнение что приводит к[16]

 

или

 

Это обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее общее решение[17]

 

где   константы, которые можно определить из граничных условий. Следовательно, изгибное решение имеет вид

 

Выберем систему координат так, чтобы границы пластины находились на краях при   и  , при  . Тогда граничные условия на моменты при  

 

где   известные функции. Решение можно найти, используя эти граничные условия. Можно показать, что для симметричного случая, когда

 

и

 

получим[18]

 

где

 

Аналогично для антисимметричного случая, когда

 

получим[19]

 

Используя симметричные и антисимметричные решения, можно составить более общие решения.

Опёртая пластина с равномерно распределенной нагрузкой

править

Для равномерно распределенной нагрузки

 

Отклонение опёртой пластины с центром при   с равномерно распределенной нагрузкой определяется выражением[20]

 

Изгибающие моменты на единицу длины в пластине определяются выражениями

 
 

Равномерная и симметричная моментная нагрузка

править

Для частного случая, когда нагрузка симметрична и момент однороден, при  ,

 

Результирующий изгиб равен

 

где

 

Изгибающие моменты и поперечные силы, соответствующие смещению   находятся по формулам

 

Напряжения

 

Изгиб цилиндрической пластины

править

Цилиндрический изгиб возникает, когда прямоугольная пластина имеющая размеры  , где   и малую толщину  , подвергается равномерной распределенной нагрузке, перпендикулярной плоскости пластины. Такая пластина имеет форму поверхности цилиндра.

С помощью методов Навье и Леви также можно найти решения для свободно опёртых пластин при цилиндрическом изгибе с различным количеством незакреплённых краёв[21].

Изгиб толстых пластин Миндлина

править

Для толстых пластин необходимо учитывать влияние сдвиговых напряжений по толщине на ориентацию нормали к средней поверхности после деформации. Теория Миндлина предлагает единый подход к нахождению деформации и напряжений в таких пластинах. Решения теории Миндлина можно получить из эквивалентных решений Кирхгофа-Лява с использованием канонических соотношений[22].

Основные уравнения

править

Канонические уравнения для изотропных толстых пластин можно записать в виде[22]

 

где   приложенная поперечная нагрузка,   модуль сдвига,   жесткость на изгиб,   толщина пластины,  ,   коэффициент поправки сдвигового напряжения,   модуль Юнга,   коэффициент Пуассона и

 

Согласно теории Миндлина   поперечное смещение средней поверхности пластины, а величины   и   соответственные повороты нормали к средней поверхности относительно   и  -осей. Канонические параметры этой теории   и  . Коэффициент поправки сдвигового напряжения   обычно принимают за  .

Решения основных уравнений можно найти, если знать соответствующие решения Кирхгофа-Лява с помощью соотношений

 

где   это смещение, предсказанное для пластины Кирхгофа-Лява,   бигармоническая функция такая, что  ,   функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа,   и

 

Свободно опёртые прямоугольные пластины

править

Для свободно опертых пластин сумма моментов Маркуса равна нулю

 

В этом случае функции  ,  ,   равны нулю, а решение Миндлина связано с соответствующим решением Кирхгофа соотношением

 

Изгиб консольно-закреплённых пластин Рейсснера-Штейна

править

Теория Рейсснера-Штейна для консольных пластин[23] приводит к следующим связанным обыкновенным дифференциальным уравнениям для консольной пластины с сосредоточенной нагрузкой на торце   в точке  .

 

и граничных условиях в точке  

 

Решение этой системы двух ОДУ дает

 

где  . Изгибные моменты и поперечные силы, соответствующие смещению  

 

Напряжения

 

Если приложенная нагрузка на краю постоянна, мы восстанавливаем решения для балки при сосредоточенной торцевой нагрузке. Если приложенная нагрузка — линейная функция  , то

 

Ссылки

править
  1. Timoshenko et al, 1959, p. 39.
  2. Timoshenko et al, 1959, p. 82.
  3. Reddy, J. N., 2007, Theory and analysis of elastic plates and shells, CRC Press, Taylor and Francis.
  4. Timoshenko, S. and Woinowsky-Krieger, S., (1959), Theory of plates and shells, McGraw-Hill New York.
  5. Timoshenko et al, 1959, p. 54.
  6. Timoshenko et al, 1959, p. 55.
  7. Timoshenko et al, 1959, p. 56.
  8. Timoshenko et al, 1959, p. 63.
  9. Timoshenko et al, 1959, p. 105.
  10. Timoshenko et al, 1959, p. 106.
  11. Cook, R. D. et al., 2002, Concepts and applications of finite element analysis, John Wiley & Sons
  12. 1 2 Timoshenko et al, 1959, p. 108.
  13. 1 2 Timoshenko et al, 1959, p. 109.
  14. Lévy, M., 1899, Comptes rendues, vol. 129, pp. 535—539
  15. Timoshenko et al, 1959, p. 113.
  16. Timoshenko et al, 1959, p. 114.
  17. Timoshenko et al, 1959, p. 180.
  18. Timoshenko et al, 1959, p. 182.
  19. Timoshenko et al, 1959, p. 184.
  20. Timoshenko et al, 1959, p. 116.
  21. Timoshenko et al, 1959, pp. 180—221.
  22. 1 2 Lim, G. T. and Reddy, J. N. О канонических соотношениях для изгиба пластин // International Journal of Solids and Structures. — Т. 40. — С. 3039—3067. — doi:10.1016/S0020-7683(03)00084-2. Архивировано 29 октября 2020 года.
  23. E. Reissner and M. Stein. Torsion and transverse bending of cantilever plates // National Advisory Committee for Aeronautics, Technical Note. — 1951. — Т. 2369. — С. —. Архивировано 29 октября 2020 года.

Литература

править
  • S. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger. Теория пластин и оболочек = Theory of plates and shells. — New York: McGraw-Hill, 1959. — 594 с. — ISBN 0-07-085820-9.

.