Инвариантная масса

Инвариантная масса, неизменная масса — это скалярная физическая величина, имеющая размерность массы, вычисляемая как функция энергии и импульса всех составных частей замкнутой физической системы и инвариантная относительно преобразований Лоренца.

У физических систем с времениподобным четырехимпульсом инвариантная масса положительна, у физических систем с нулевым четырехимпульсом (безмассовых физических систем, например, один фотон или множество фотонов, движущихся в одном и том же направлении) инвариантная масса равна нулю.

Если объекты внутри системы находятся в относительном движении, то инвариантная масса всей системы будет отличаться от суммы масс образующих её объектов.

Для изолированной "массивной" системы центр масс системы движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью. В системе отсчета, относительно которой скорость центра масс равна нулю, общий импульс системы равен нулю, и систему в целом можно рассматривать как "находящуюся в состоянии покоя". В этой системе отсчета инвариантная масса системы равна общей энергии системы, деленной на квадрат скорости света {{"c"²}}. Эта общая энергия является "минимальной" энергией, которую можно наблюдать у системы, когда ее видят различные наблюдатели из разных инерциальных систем отсчета.

Система отсчета, относительно которой скорость центра масс равна нулю, не существует для группы фотонов, движущихся в одном направлении. Однако, когда два или более фотона движутся в разных направлениях, существует система координат центра масс. Таким образом, инвариантная масса системы из нескольких фотонов, движущихся в разных направлениях, положительна, несмотря на то, что она равна нулю для каждого фотона.

Возможные 4-импульсы частиц. Одна имеет нулевую инвариантную массу, другая ненулевую.

Сумма масс

Инвариантная масса системы включает массу любой кинетической энергии составляющих системы, которая остается в центре системы отсчета импульса, поэтому инвариантная масса системы может быть больше суммы инвариантных масс ее отдельных составляющих. Например, масса и инвариантная масса равны нулю для отдельных фотонов, даже если они могут добавлять массу к инвариантной массе систем. По этой причине инвариантная масса, как правило, не является аддитивной величиной (хотя есть несколько редких ситуаций, когда это может быть, как в случае, когда массивные частицы в системе без потенциальной или кинетической энергии могут быть добавлены к общей массе).

Рассмотрим простой случай системы из двух тел, где объект A движется к другому объекту B, который изначально находится в состоянии покоя (в любой конкретной системе отсчета). Величина инвариантной массы этой системы из двух тел (см. определение ниже) отличается от суммы масс покоя (т.е. их соответствующей массы в неподвижном состоянии). Даже если мы рассмотрим ту же систему с точки зрения центра импульса, где чистый импульс равен нулю, величина инвариантной массы системы не равна сумме масс покоя частиц внутри нее.

Кинетическая энергия частиц системы и потенциальная энергия силовых полей (возможно, отрицательная) вносят вклад в инвариантную массу системы. Сумма кинетических энергий частиц, является наименьшей в системе координат центра импульса.

Для изолированной "массивной" системы центр масс движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью. Таким образом, всегда можно разместить наблюдателя, который будет двигаться вместе с ним. В этой системе отсчета, которая является системой центра масс, общий импульс равен нулю, и систему в целом можно рассматривать как "находящуюся в состоянии покоя", если это связанная система ннапример, бутылка с газом). В этой системе отсчета, которая существует всегда, инвариантная масса системы равна общей энергии системы (в системе отсчета с нулевым импульсом), деленной на "c"².

Определение в физике элементарных частиц

В физике элементарных частиц инвариантная масса m₀ системы $N$ элементарных частиц может быть рассчитана по энергиям частиц $E_{i}$ и их импульсам $\mathbf {P} _{i}$, $i=1,...N$, измеренными в произвольной системе отсчёта, с помощью соотношения энергии и импульса:

$m_{0}^{2}c^{4}=\left(\sum _{i}E_{i}\right)^{2}-\left\|\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}c^{2}$

или в релятивистской системе единиц где $c=1$,

$m_{0}^{2}=\left(\sum _{i}E_{i}\right)^{2}-\left\|\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}$

Инвариантная масса одинакова во всех системах отсчета (см. также специальная теория относительности). С математической точки зрения она представляет собой псевдоевклидову длину четырёхвектора (E, p), рассчитанную с использованием релятивистской версии теоремы Пифагора, которая использует разные знаки для пространственных и временных измерений. Эта длина сохраняется при любом смещении или вращении Лоренца в четырех измерениях, точно так же, как обычная длина вектора, сохраняется при вращениях.

Поскольку инвариантная масса определяется из величин, которые сохраняются во время распада, инвариантная масса, рассчитанная с использованием энергии и импульса продуктов распада одной частицы, равна массе распавшейся частицы.

В экспериментах по неупругому рассеянию инвариантная масса необнаруженной частицы, уносящей с собой часть энергии и импульса, называется недостающей массой $W$. Она определяется (в релятивистской системе единиц):

$W^{2}=\left(\sum E_{\text{in}}-\sum E_{\text{out}}\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} _{\text{in}}-\sum \mathbf {p} _{\text{out}}\right\|^{2}.$

Если есть одна доминирующая частица, которая не была обнаружена во время эксперимента, ее массу можно определить по пику на графике ее инвариантной массы.

В тех случаях, когда импульс вдоль одного направления не может быть измерен (т.е. в случае нейтрино, о присутствии которого можно судить только по недостающей энергии), используется поперечная масса.

Примеры

Столкновение двух частиц

При столкновении двух частиц (или распаде двух частиц) квадрат инвариантной массы (в в релятивистской системе единиц) равен

${\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|{\textbf {p}}_{1}+{\textbf {p}}_{2}\right\|^{2}\\&=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2\left(E_{1}E_{2}-{\textbf {p}}_{1}\cdot {\textbf {p}}_{2}\right).\end{aligned}}$

Безмассовые частицы

Инвариантная масса системы, состоящей из двух безмассовых частиц, импульсы которых образуют угол $\theta$ имеет удобное выражение:

${\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|{\textbf {p}}_{1}+{\textbf {p}}_{2}\right\|^{2}\\&=[(p_{1},0,0,p_{1})+(p_{2},0,p_{2}\sin \theta ,p_{2}\cos \theta )]^{2}\\&=(p_{1}+p_{2})^{2}-p_{2}^{2}\sin ^{2}\theta -(p_{1}+p_{2}\cos \theta )^{2}\\&=2p_{1}p_{2}(1-\cos \theta ).\end{aligned}}$

Эксперименты на коллайдере

В экспериментах на коллайдере частиц часто определяют угловое положение частицы в терминах азимутального угла  $\phi$ и псевдобыстроты $\eta$. Кроме того, обычно измеряется поперечный импульс, $p_{T}$. В этом случае, если частицы безмассовые или сильно релятивистские ($E\gg m$), то инвариантная масса определяется как:

$$M^{2}=2p_{T1}p_{T2}(\cosh(\eta _{1}-\eta _{2})-\cos(\phi _{1}-\phi _{2})).$$

См. также

• Масса в специальной теории относительности
• Инвариант (физика)
• Поперечная масса