Инвариант конечного типа

Инвариант конечного типа (или инвариант Васильева) — класс инвариантов узлов, характеризующийся определённым соотношением на все разрешения сингулярного узла с данным числом самопересечений.

Определение

Пусть $f$ — инвариант узлов со значениями в вещественных числах, то есть $f(K)$ есть вещественное число определённое для каждого узла $K$, такое, что $f(K)=f(K')$, если узлы $K$ и $K'$ изотопны.

Рассмотрим плоскую диаграмму $D$ узла и выберем некоторое подмножество её перекрестков, состоящее из $m$ элементов. Пронумеруем эти перекрёстки от 1 до $m$.

Для набора $(\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m})$, где $\varepsilon _{i}=\pm 1$ рассмотрим диаграмму $D[\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m}]$, полученную из $D$ изменением перекрестков по такому правилу: если $\varepsilon _{i}=1$, то $i$-й перекресток не меняется, а если $\varepsilon _{i}=-1$, то меняется на противоположный.

Пусть $n$ неотрицательное целое число. В случае если для любой диаграммы $D$ и любого выбора $m>n$ перекрёстков выполняется тождество

$\sum _{(\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m})}\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{m}\cdot f(D[\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{m}])=0$

то говорят, что $f$ имеет степень не выше $n$.

Инварианты конечной степени называются инвариантами конечного типа.

Примеры

• Все известные полиномиальные инварианты узлов выражаются через инварианты конечного типа.
  • Коэффициент при квадратичном члене в многочлене Александера является инвариантом конечного типа степени два.
• Любой коэффициент в интеграле Концевича является инвариантом конечного типа.

Свойства

• Инварианты степени не выше $n$ образуют векторное пространство $V_{n}$. При этом

  $V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \dots$

  • $V_{0}$ и $V_{1}$ являются одномерными, то есть инварианты степени не выше $1$ — это только константы.
  • $V_{m}\cdot V_{n}\subset V_{m+n}$

Открытые вопросы

• Образуют ли инварианты конечного типа полную систему инвариантов? То есть верно ли, что если два узла $K$ и $K'$ не изотопны, то найдется инвариант конечного типа $v$ такой, что $v(K)\neq v(K')$?

История

Инварианты узлов конечного типа были предложены независимо Васильевым и Гусаровым[1] в конце 1980-х годов. Васильеву принадлежат первые публикации на эту тему (1990), Гусаров, выступил на семинаре Рохлина в 1987 году а первая публикация вышла только в 1991.

В 1992 году Арнольд сделал на эту тему доклад на Европейском математическом конгрессе. С этих пор закрепился термин «инварианты Васильева».

Литература

• С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Узлы и их инварианты // Матем. просв., сер. 3. — 1999. — Т. 3. — С. 59—93.