Инверсная группа

Инверсная группа — построение в теории групп, сменяющее аргументы бинарной групповой операции местами, используемое для определения правого действия. Для данной группы $G=(G,\cdot )$ строится как группа $G^{op}=(G,{*})$ с тем же множеством элементов, но с произведением ${*}$, определённым по правилу $g*h:=h\cdot g$.

Инверсная группа абелевой группы совпадает с ней самой. Инверсная группа любой группы изоморфна ей: изоморфизмом будет, например, $g\mapsto g^{-1}$; кроме того, любой антиавтоморфизм $\psi :G\to G$ (взаимно-однозначное отображение группы на себя, удовлетворяющее соотношению $\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)$) порождает соответствующий изоморфизм $\varphi :G\to G^{op}$:

$\varphi (a\cdot b)=\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)=\psi (a)*\psi (b)=\varphi (a)*\varphi (b)$.

Если задано правое действие группы $G$ на объекте некоторой категории: $\rho :G\to \mathrm {Aut} (X)$, то $\rho ^{op}:G^{op}\to \mathrm {Aut} (X)$, определённое как $\rho ^{op}(g)=\rho (g)$ (или $g^{op}x=xg$), является левым действием.

При категорном определении группы инверсная группа становится частным случаем двойственной категории.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.