Интегральные преобразования

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

Tf(u)=\int \limits _{S}K(t,u)\,f(t)\,dt

,

где функции $f,Tf$ называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства $L$ , при этом функция $K$ называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

f(t)=\int \limits _{S'}K^{-1}(u,t)\,(Tf(u))\,du.

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Таблица преобразований (одномерный случай) править

Если интегральное преобразование и его обращение заданы формулами

Tf(u)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)\,f(t)\,dt

,

f(t)=\int \limits _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)\,(Tf(u))\,du

,

то:

Таблица интегральных преобразований (одномерный случай)
Преобразование	Обозначение	$K$	t₁	t₂	$K^{-1}$	u₁	u₂
Преобразование Фурье	${\mathcal {F}}$	${\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{+iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
Синус-преобразование Фурье	${\mathcal {F}}_{s}$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0$	$\infty$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0$	$\infty$
Косинус-преобразование Фурье	${\mathcal {F}}_{c}$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0$	$\infty$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}$	$0$	$\infty$
Преобразование Хартли	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
Преобразование Меллина	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}$	$0$	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Двустороннее преобразование Лапласа	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Преобразование Лапласа	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}$	$0$	$\infty$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Преобразование Вейерштрасса	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Преобразование Ханкеля		$t\,J_{\nu }(ut)$	$0$	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0$	$\infty$
Интегральное преобразование Абеля		${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$	$u$	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	$t$	$\infty$
Преобразование Гильберта	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$	$-{\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
Ядро Пуассона		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$	$0$	$2\pi$
Идентичное преобразование		$\delta (u-t)$	$t_{1}<u$	$t_{2}>u$	$\delta (t-u)$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$