Интегральное уравнение Вольтерры

Интегра́льное уравне́ние Вольте́рры (распространено также написание интегральное уравнение Вольтерра́) — специальный тип интегральных уравнений. Предложены итальянским математиком Вито Вольте́ррой, а затем изучались Траяном Лалеску в работе Sur les équations de Volterra, написанной в 1908 году под руководством Эмиля Пикара. В 1911 году Лалеску написал первую книгу об интегральных уравнениях. Уравнения находят применение в демографии, изучении вязко-упругих материалов, в страховой математике через уравнение восстановления.

Данные уравнения делятся на два типа.

Линейное уравнение Вольтерры первого рода:

$f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds$,

где $f$ — заданная функция, $x$ — неизвестная функция.

Линейное уравнение Вольтерры второго рода:

$x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds$.

В теории операторов и в теории Фредгольма соответствующие уравнения называются оператором Вольтерры.

Функция $K$ в интеграле часто называется ядром. Такие уравнения могут быть проанализированы и решены с помощью метода Лапласа.

Уравнения с однородным ядром

Первого рода

$f(t)=\int _{0}^{t}K(t-s)\,x(s)\,ds$

Решение основано на преобразовании Лапласа. Производя преобразование Лапласа обеих частей уравнения и обозначая его тильдой:

${\tilde {f}}(p)={\tilde {K}}(p){\tilde {x}}(p)$

Таким образом,

${\tilde {x}}(p)={\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(p)}}$

Если при $t\to 0$ функции $K(t),f(t)$ стремятся к $K_{0},f_{0}$ соответственно, то при больших $p$ функция ${\tilde {x}}\to f_{0}/K_{0}$. Это означает наличие $\delta$-функционного вклада, который следует вынести. Таким образом, решение имеет вид

$x(t)={\frac {f_{0}}{K_{0}}}\delta (t)+\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(t)}}-{\frac {f_{0}}{K_{0}}}\right)$

Второго рода

$f(t)=x(t)+\int _{a}^{t}K(t-s)x(s)\,ds$

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что

${\tilde {x}}(p)={\frac {{\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(p)}}$

Здесь уже случая неопределённости не возникает и

$x(t)=\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(t)}}\right)$