Интегральное уравнение Гаммерштейна

Интегральное уравнение Гаммерштейна — нелинейное интегральное уравнение вида: $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)\Psi (s,\phi (s))ds+f(t)$. Здесь $K(t,s),\Psi (s,z),t(t)$ - известные функции, $\phi (t)$ - искомая функция.

Теорема существования решения

Уравнение Гаммерштейна $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$ имеет по крайней мере одно решение, если выполняются следующие условия:

1. для линейного интегрального уравнения с ядром $K(t,s)$ справедливы теоремы Фредгольма и итерированное ядро $K_{2}(t,s)$ непрерывно;
2. ядро $K(t,s)$ симметрично, то есть $K(t,s)=K(s,t)$;
3. ядро $K(t,s)$ положительно определённое, то есть все его характеристические числа положительны;
4. функция $K(t,s)$ удовлетворяет условию $\mid K(t,s)\mid \leqslant C_{1}\mid z\mid +C_{2}$, где

$C_{1},C_{2}$ - положительные постоянные, $C_{1}<\lambda _{1}$, $\lambda _{1}$ - наименьшее характеристическое число ядра $K(t,s)$;

Теоремы единственности решения

• Уравнение Гаммерштейна $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$ имеет самое большее одно решение, если для любого фиксированного $s\in \left[a,b\right]$ функция $F(s,z)$ является неубывающей функцией $z$.

• Уравнение Гаммерштейна $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi (s))ds$ имеет самое большее одно решение, если функция $F(s,z)$ равномерно удовлетворяет условию Липшица $\mid F(s,z_{2})-F(s,z_{1})\mid <\alpha \mid z_{2}-z_{1}\mid$, где $0<\alpha <\lambda _{1}$

Литература

• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 304 с.