Интегральный косинус

Интегра́льный ко́синус — специальная функция, определяемая интегралом

График интегрального косинуса для 0 < x ≤ 8π.

$\operatorname {Ci} (x)=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}dt$

или:

$\gamma +\ln x+\int \limits _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.

Иногда используются другие определения:

$\operatorname {Cin} (x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt$

$\operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x).$

Также возможно определение интегрального косинуса через интегральную показательную функцию по аналогии с обычным косинусом:

$\operatorname {Ci} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (ix)+\operatorname {Ei} (-ix)\right)$

Интегральный косинус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.

Свойства

• Интегральный косинус может быть представлен в виде ряда:

$\operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2\cdot 2!}}+{\frac {x^{4}}{4\cdot 4!}}-{\frac {x^{6}}{6\cdot 6!}}+\cdots =\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!(2n)}}$

См. также

• Интегральный синус
• Интегральная показательная функция
• Интегральный логарифм

Литература

• Математический энциклопедический словарь, М. 1995, с. 238
• Weisstein, Eric W. Cosine Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.