Исчисление конструкций

Исчисление конструкций (англ. calculus of constructions, CoC) — теория типов на основе полиморфного λ-исчисления высшего порядка с зависимыми типами, разработана Тьерри Коканом и Жераром Юэ в 1986 году. Находится в высшей точке лямбда-куба Барендрегта, являясь наиболее широкой из входящих в него систем — $\lambda P\omega$. Может быть применена как основа для построения типизированного языка программирования, так и в качестве системы конструктивных оснований математики.

Используется как базис для системы интерактивного доказательства Coq и ряда подобных инструментов (в том числе Matita).

Среди вариантов исчисления — исчисление индуктивных конструкций (использует индуктивные типы), исчисление коиндуктивных конструкций (с применением коиндукции), предикативное исчисление индуктивных конструкций (устраняет некоторую часть непредикативности).

С точки зрения соответствия Карри — Ховарда исчисление конструкций устанавливает взаимосвязь между зависимыми типами и доказательствами в секвенциальном интуиционистском исчислении предикатов.

Структура

Термы

Терм в исчислении конструкций конструируется по следующим правилами:

• T — это терм (так же его обозначают как Type);
• P — это терм (так же его обозначают как Prop, это — тип, к которому относятся все утверждения);
• Переменные (x, y, …) — это термы;
• Если A и B — это термы, то выражение (A B) также является термом;
• Если A и B — это термы и x — это переменная, то нижеследующие выражения также являются термами:
  • (λx:A . B),
  • (∀x:A . B).

Другими словами, синтаксис терма, если записать его при помощи BNF, следующий:

$e::=\mathbf {T} \mid \mathbf {P} \mid x\mid e\,e\mid \lambda x{\mathbin {:}}e.e\mid \forall x{\mathbin {:}}e.e$

Исчисление конструкций использует пять типов объектов:

1. доказательства, которые имеют типом те или иные утверждения;
2. утверждения, также называемые малыми типами;
3. предикаты, являющиеся функциями, возвращающими утверждения;
4. большие типы, являющиеся типами для предикатов (P — пример такого большого типа);
5. T как таковой, который является типом, к которому относятся большие типы.

Суждения

Исчисление конструкций позволяет доказывать суждения о типах.

$x_{1}:A_{1},x_{2}:A_{2},\ldots \vdash t:B$

можно прочесть как импликацию:

Если переменные $x_{1},x_{2},\ldots$ имеют типы $A_{1},A_{2},\ldots$, то терм $t$ имеет тип $B$.

Допустимые суждения для исчисления конструкций могут быть получены из набора правил вывода. В дальнейшем мы используем символ $\Gamma$ чтобы обозначить последовательность присвоений типов $x_{1}:A_{1},x_{2}:A_{2},\ldots$, и K чтобы обозначить либо P либо T. Формула $B[x:=N]$ будет использоваться для замены терма $N$ для каждой свободной переменной $x$ в терме $B$.

Правила вывода записываются в следующем формате:

${\Gamma \vdash A:B} \over {\Gamma '\vdash C:D}$

это означает:

Если $\Gamma \vdash A:B$ является валидным суждением, то $\Gamma '\vdash C:D$

Правила вывода для исчисления конструкций

1. ${{} \over {}\Gamma \vdash P:T}$

2. ${\Gamma \vdash A:K \over {\Gamma ,x:A\vdash x:A}}$

3. ${\Gamma ,x:A\vdash B:K\qquad \qquad \Gamma ,x:A\vdash N:B \over {\Gamma \vdash (\lambda x:A.N):(\forall x:A.B):K}}$

4. ${\Gamma \vdash M:(\forall x:A.B)\qquad \qquad \Gamma \vdash N:A \over {\Gamma \vdash MN:B[x:=N]}}$

5. ${\Gamma \vdash M:A\qquad \qquad A=_{\beta }B\qquad \qquad \Gamma \vdash B:K \over {\Gamma \vdash M:B}}$

Определение логических операторов

Исчисление конструкций включает в себя совсем небольшое число основных операторов: единственный логический оператор для формирования утверждений $\forall$. Однако одного этого оператора достаточно для определения всех других логических операторов:

${\begin{array}{ccll}A\Rightarrow B&\equiv &\forall x:A.B&(x\notin B)\\A\wedge B&\equiv &\forall C:P.(A\Rightarrow B\Rightarrow C)\Rightarrow C&\\A\vee B&\equiv &\forall C:P.(A\Rightarrow C)\Rightarrow (B\Rightarrow C)\Rightarrow C&\\\neg A&\equiv &\forall C:P.(A\Rightarrow C)&\\\exists x:A.B&\equiv &\forall C:P.(\forall x:A.(B\Rightarrow C))\Rightarrow C&\end{array}}$

Определение типов данных

Исчисление конструкций позволяет определить базовые типы данных, используемые в информатике:

Булевы значения

$\forall A:P.A\Rightarrow A\Rightarrow A$

Натуральные числа

$\forall A:P.(A\Rightarrow A)\Rightarrow (A\Rightarrow A)$

Произведение $A\times B$

$A\wedge B$

Исключающее объединение (запись с вариантами) $A+B$

$A\vee B$

Обратите внимания на то, что булевы и числовые значения определяются способом, аналогичным кодированию Чёрча. Однако дополнительные проблемы возникают из-за экстенсиональности утверждений и иррелевантности^{[уточнить]} доказательств.