Касательное расслоение

Касательное расслоение гладкого многообразия $M$ — векторное расслоение над $M$, слой которого в точке $x\in M$ является касательным пространством $T_{x}M$ в точке $x$. Касательное расслоение обычно обозначается $TM$.

Неформально, касательное расслоение многообразия (в данном случае окружности) получается при рассмотрении всех касательных пространств (сверху) и объединении их гладко без пересечений (снизу)

Элемент тотального пространства $TM$ — это пара $(x,\;v)$, где $x\in M$ и $v\in T_{x}M$. Касательное расслоение обладает естественной топологией (не топологией дизъюнктивного объединения) и гладкой структурой, превращающими его в многообразие. Размерность $TM$ равна удвоенной размерности $M$.

Топология и гладкая структура

Если $M$ — $n$-мерное многообразие, то оно обладает атласом карт $(U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })$, где $U_{\alpha }$ — открытое подмножество $M$ и

$\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}$

— гомеоморфизм.

Эти локальные координаты на $U$ порождают изоморфизм между $T_{x}M$ и $\mathbb {R} ^{n}$ для любого $x\in U$. Можно определить отображение

${\tilde {\varphi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{2n}$

как

${\tilde {\varphi }}_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\;\ldots ,\;v^{n}).$

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на $TM$.

Подмножество $A$ из $TM$ открыто тогда и только тогда, когда ${\tilde {\varphi }}_{\alpha }(A\cap \pi ^{-1}(U_{\alpha }))$ — открытое в $\mathbb {R} ^{2n}$ для любого $\alpha$. Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств $TM$ и $\mathbb {R} ^{2n}$, поэтому они образуют карты гладкой структуры на $TM$. Функции перехода на пересечениях карт $\pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{2n}$.

Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением. Касательное расслоение $n$-мерного многообразия $M$ можно определить как векторное расслоение ранга $n$ над $M$, функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

Примеры

• Простейший пример получается для $\mathbb {R} ^{n}$. В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции $\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{n}$.
• Единичная окружность $S^{1}$. Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно $S^{1}\times \mathbb {R}$. Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
• Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере $S^{2},$ это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причёсывании ежа.

К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой $R$ и единичной окружности $S^{1}$, которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-мерное многообразие, поэтому его сложно представить.

Векторные поля

Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии $M$, значение которой в каждой точке — вектор, касательный к $M$, то есть гладкое отображение

$V\colon M\to TM$

такое, что образ $x$, обозначаемый $V_{x}$, лежит в $T_{x}M$ — касательном пространстве в точке $x$. На языке локально тривиальных расслоений, такое отображение называется сечением. Векторное поле на $M$ — это сечение касательного расслоения над $M$.

Множество всех векторных полей над $M$ обозначается $\Gamma (TM)$. Векторные поля можно складывать поточечно:

$(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}$

и умножать на гладкие функции на $M$

$(fV)_{x}=f(x)V_{x},$

получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей $\Gamma (TM)$ получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на $M$ (обозначается $C^{\infty }(M)$).

Если $f$ есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля $X$ даёт новую гладкую функцию $Xf$. Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:

• Аддитивность: $X(f+h)=Xf+Xh$.
• Правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$.

Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.

Локальное векторное поле на $M$ — это локальное сечение касательного расслоения. Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве $U$ из $M$, при этом в каждой точке из $U$ задается вектор из соответствующего касательного пространства. Множество локальных векторных полей на $M$ образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над $M$.

Каноническое векторное поле на TM

На каждом касательном расслоении $TM$ можно определить каноническое векторное поле. Если $(x,\;y)$ — локальные координаты на $TM$, то векторное поле имеет вид

$V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{(x,\;y)}.$

$V$ является отображением $V\colon TM\to TTM$.

Существование такого векторного поля на $TM$ можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении.

См. также

• Дифференциал отображения
• Векторное поле
• Распределение — подрасслоение касательного расслоения
• Кокасательное расслоение
• Метрика Сасаки — естественная метрика на касательном расслоении риманова многообразия.

Ссылки

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
• Todd Rowland. Tangent Bundle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Tangent Bundle (англ.) на сайте PlanetMath.