Квадратичная задача собственных значений

Квадратичная задача собственных значений (КЗСЗ) — это задача поиска скалярных собственных значений $\lambda$, левых и правых собственных векторов $y$ и $x$, таких что

$Q(\lambda )x=0{\text{ и }}y^{\ast }Q(\lambda )=0,$

где функция (с матрицами в качестве значений) $Q(\lambda )=\lambda ^{2}A_{2}+\lambda A_{1}+A_{0}$, а коэффициенты являются матрицами $A_{2},\,A_{1},A_{0}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$. Мы также требуем, чтобы $A_{2}\,\neq 0$. Имеется $2n$ собственных значений, которые могут быть конечными или бесконечными, а возможно и нулевыми. Задача является частным случаем нелинейной задачи собственных значений. Функция $Q(\lambda )$ известна также как квадратный матричный многочлен.

Приложения

КЗСЗ может быть получена в динамическом анализе структур, дискретизированных методом конечных элементов. В этом случае квадратный многочлен $Q(\lambda )$ имеет вид $Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K$, где $M$ является матрицей масс, $C$ является матрицей затухания, а $K$ является матрицей жёсткости. Другими приложениями являются виброакустика и динамика жидкостей.

Методы решения

Прямые методы решения стандартной или обобщённой задач собственных значений $Ax=\lambda x$ и $Ax=\lambda Bx$ основываются на преобразовании задачи к форме Шура или обобщённой форме Шура. Для квадратичных матричных многочленов, однако, аналогичной формы нет. Одним из подходов является преобразование квадратичного матричного многочлена в линейный пучок матриц ($A-\lambda B$) и решение обобщённой задачи собственных значений. После того, как собственные значения и собственные вектора линейной задачи определены, можно найти собственные значения и собственные вектора квадратичной задачи.

Наиболее часто используется линеаризация

$L(\lambda )=\lambda {\begin{bmatrix}M&0\\0&E_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C&K\\-E_{n}&0\end{bmatrix}},$

где $E_{n}$ — $n\times n$ единичная матрица, вместе с собственным вектором

$z={\begin{bmatrix}\lambda x\\x\end{bmatrix}}.$

Мы решаем уравнение $L(\lambda )z=0$ по $\lambda$ и $z$, например вычисляя обобщённую форму Шура. Затем мы можем взять первые $n$ элементов вектора $z$ в качестве собственного вектора $x$ исходной квадратичной функции $Q(\lambda )$.

Литература

• F. Tisseur, K. Meerbergen. The quadratic eigenvalue problem // SIAM Rev. — 2001. — Вып. 43.