Квадратичная иррациональность

Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ с рациональными коэффициентами $a,b,c$ (или, что то же, вещественным корнем многочлена 2-й степени с рациональными коэффициентами $ax^{2}+bx+c$). В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.

Иррациональность числа $x$ означает, что оно не может быть представлено в виде рационального числа (дроби). Из этого следует, что многочлен $ax^{2}+bx+c=0$ неприводим в поле рациональных чисел $\mathbb {Q} ,$ то есть не распадается в этом поле на множители первой степени.

Алгебраические свойства

Решение квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ даёт формула:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}},$

где $D=b^{2}-4ac$ (дискриминант уравнения). Вещественность корня означает, что $D\geqslant 0.$ Следовательно, всякая квадратичная иррациональность имеет вид:

$x=u+v{\sqrt {D}},$

где $u,v,D$ — рациональные числа, причём $v\neq 0$, а подкоренное выражение $D$ неотрицательно и не является полным квадратом рационального числа.

Примеры: $11-{\sqrt {2}};\quad {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

Из определения следует, что квадратичные иррациональности являются алгебраическими числами второй степени. Отметим, что обратный элемент для $x=u+v{\sqrt {D}}$ также является квадратичной иррациональностью:

${1 \over u+v{\sqrt {D}}}={u-v{\sqrt {D}} \over u^{2}-v^{2}D}.$

Число $x'=u-v{\sqrt {D}}$ называется сопряжённым для $x=u+v{\sqrt {D}}.$ Имеют место формулы:

$(x+y)'=x'+y';\quad (xy)'=x'y';\quad \left({\frac {1}{x}}\right)'={\frac {1}{x'}}.$

Канонический формат

Без ограничения общности можно упростить уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ следующим образом.

1. Коэффициенты рассматриваемого уравнения 2-й степени можно сделать целыми числами, поскольку от знаменателей дробей легко избавиться, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное всех знаменателей. Дискриминант $D$ тогда тоже становится целым числом.
2. Если старший коэффициент $a<0,$ то умножим уравнение на $-1$.
3. Наконец, разделим полученное уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ на наибольший общий делитель НОД$(a,b,c)$.

В итоге получим уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ с целочисленными взаимно простыми коэффициентами, причём старший коэффициент положителен. Это уравнение однозначно связано с парой своих корней, и множество таких уравнений счётно. Поэтому множество квадратичных иррациональностей также счётно.

Часто удобно в выражении корня $x=u+v{\sqrt {D}},$ выполнить ещё одну модификацию: если в каноническое разложение $D$ входят какие-либо квадраты, вынесем их за знак радикала, так что оставшееся значение $D$ будет свободно от квадратов.

Квадратичные поля

Основная статья: Квадратичное поле

Сумма, разность и произведение квадратичных иррациональностей с одним и тем же дискриминантом $D$ либо имеют тот же формат, либо являются рациональными числами, поэтому вместе они образуют поле, являющееся нормальным расширением второй степени поля рациональных чисел ℚ. Это поле обозначается $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$ и называется квадратичным полем. Всякое такое расширение $\mathbb {Q}$ может быть получено описанным способом. Группа Галуа расширения, кроме тождественного автоморфизма, содержит отображение иррационального числа в сопряжённое ему (в указанном выше смысле).

Предположим, что, как описано выше, $D$ — свободное от квадратов целое число. Тогда для разных значений $D$ получаются разные квадратичные поля .

Для квадратичного поля можно построить его кольцо целых, то есть множество корней приведённых многочленов с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1. Свободное от квадратов $D$ не может делиться на 4, поэтому возможны два случая в зависимости от того, какой остаток даёт $D$ при делении на 4.

1. Если $D$ имеет вид $4k+1,$ то целые элементы — это числа вида $m+n\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$, где $m,n$ — натуральные числа.
2. Если $D$ имеет вид $4k+2$ или $4k+3,$ то целые элементы — это числа вида $m+n{\sqrt {D}}$, где $m,n$ — натуральные числа.

Связь с непрерывными дробями

Вещественные квадратичные иррациональности связаны с непрерывными дробями теоремой Лагранжа (иногда называемой теоремой Эйлера—Лагранжа):

Вещественное число является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда оно разлагается в бесконечную периодическую непрерывную дробь.

Пример:

${\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]$

Непрерывная дробь, у которой период начинается с первого же звена, называется чисто периодической. Эварист Галуа в 1828 году доказал: непрерывная дробь для квадратической иррациональности $x$ будет чисто периодической тогда и только тогда, когда $x>1$, а сопряжённая иррациональность $x'$ лежит в интервале $(-1;0)$. Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряжённая квадратическая иррациональность имеет те же звенья, но расположенные в обратном порядке.

Обобщение

Квадратичная иррациональность является частным случаем «иррациональности $n$-й степени», которая является корнем неприводимого в поле $\mathbb {Q}$ многочлена $n$-й степени с целыми коэффициентами. Рациональные числа получаются при $n=1,$ а квадратичные иррациональности соответствуют случаю $n=2.$

Некоторые источники включает в число квадратичных иррациональностей также и комплексные корни квадратных уравнений (например, гауссовы целые числа или числа Эйзенштейна).

Г. Ф. Вороной в работе «О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени» (1894) распространил теорию (включая непрерывные дроби) на случай кубических иррациональностей.

История

Феодор Киренский и его ученик Теэтет Афинский (IV в. до н. э.) первыми доказали, что если число $N$ не представляет собой полный квадрат, то ${\sqrt {N}}$ не является рациональным числом, то есть не может быть точно выражен в виде дроби. Это доказательство опиралось на «лемму Евклида». Евклид посвятил этим вопросам десятую книгу своих «Начал»; он, как и современные источники, использовал основную теорему арифметики.

Литература

• Бухштаб А. А. Квадратичные иррациональности и периодические цепные дроби // Теория чисел. — 4-е изд. — М.: Лань, 2015. — 384 с. — ISBN 978-5-8114-0847-4.
• Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр "Академия", 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.
• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Quadratic Surd (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Continued fraction calculator for quadratic irrationals Архивная копия от 18 февраля 2020 на Wayback Machine  (англ.)
• Proof that e is not a quadratic irrational  (англ.)