Кватернионный анализ

Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера^[1].

Определение регулярной функции править

Рассмотрим оператор

{\bar {\partial }}={\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}

Функция кватернионного переменного $f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H}$ называется регулярной, если

{\bar {\partial }}f=0

Гармонические функции править

Пусть ${\bar {\partial }}f=0$ , тогда и $\partial {\bar {\partial }}f=0$ . Несложно проверить, что оператор $\partial {\bar {\partial }}$ имеет вид

\partial {\bar {\partial }}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}=\Delta _{4}

и совпадает с оператором Лапласа в $\mathbb {R} ^{4}$ . Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в $\mathbb {R} ^{4}$ . Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции $\tau \colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R}$ существует регулярная кватернионная функция $f$ такая, что $\tau =\operatorname {Scal} \,f$ . Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.

Некоторые применения править

Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх

Дифференцирование отображений править

Пусть $y=f(x)$ — функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной $y'_{l}$ в точке $x=a$ как такое число, что

f(x)-f(a)=y'_{l}(x-a)+o(x-a)

где $o(h)$ — бесконечно малая от $h$ , то есть

\lim _{h\to 0}{\frac {|o(h)|}{|h|}}=0

.

Множество функций, которые имеют левую производную, ограничено. Например, такие функции, как

y=axb

y=x^{2}

не имеют левой производной.

Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.

a(x+h)b-axb=ahb

(x+h)^{2}-x^{2}=xh+hx+h^{2}

Нетрудно убедиться, что выражения

ahb

и

xh+hx

являются линейными функциями кватерниона $h$ . Это наблюдение является основанием для следующего определения^[2].

Непрерывное отображение

f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

называется дифференцируемым на множестве $U\subset \mathbb {H}$ , если в каждой точке $x\in U$ изменение отображения $f$ может быть представлено в виде

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

где

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

линейное отображение алгебры кватернионов $\mathbb {H}$ и $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ такое непрерывное отображение, что

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

Линейное отображение

{\frac {df(x)}{dx}}

называется производной отображения $f$ .

Производная может быть представлена в виде^[3]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}

Соответственно дифференциал отображения $f$ имеет вид

df={\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}

Здесь предполагается суммирование по индексу $s$ . Число слагаемых зависит от выбора функции $f$ . Выражения

{\frac {d_{s0}df(x)}{dx}},{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}

называются компонентами производной.

Производная удовлетворяет равенствам

{\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}

{\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg(x)}{dx}}

{\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)

{\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b

{\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b

Если $y=axb$ , то производная имеет вид

{\frac {daxb}{dx}}=a\otimes b,dy={\frac {daxb}{dx}}\circ dx=a\,dx\,b

{\frac {d_{10}axb}{dx}}=a,{\frac {d_{11}axb}{dx}}=b

Если $y=x^{2}$ , то производная имеет вид

{\frac {dx^{2}}{dx}}=x\otimes 1+1\otimes x,dy={\frac {dx^{2}}{dx}}\circ dx=x\,dx+dx\,x

и компоненты производной имеют вид

{\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x,{\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1

{\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1,{\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x

Если $y=x^{-1}$ , то производная имеет вид

{\frac {dx^{-1}}{dx}}=-x^{-1}\otimes x^{-1},dy={\frac {dx^{-1}}{dx}}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}

и компоненты производной имеют вид

{\frac {d_{10}x^{-1}}{dx}}=-x^{-1},{\frac {d_{11}x^{-1}}{dx}}=x^{-1}

Примечания править

↑ Fueter, R. Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen // Commentarii Mathematici Helvetici. — №1. — Birkhäuser Basel, 1936. — P. 371—378.
↑ Aleks Kleyn, eprint arXiv:1601.03259 Архивная копия от 25 января 2018 на Wayback Machine Introduction into Calculus over Banach algebra, 2016
↑ Выражение ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx}}$ не является дробью и должно восприниматься как единый символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx}}$ при заданном $x$ является кватернионом.