Когомологии Дольбо

Когомологии Дольбо — аналог когомологий де Рама для комплексных многообразий. Названны в честь Пьера Дольбо.

Пусть M — комплексное многообразие. Тогда группы когомологий Дольбо $H^{p,q}(M,\mathbb {C} )$зависят от пары целых чисел p и q и строятся из комплексных дифференциальных форм степени (p, q).

Построение групп когомологий

Пусть Ω ^{p, q} — векторное расслоение комплексных дифференциальных форм степени (p,q) и

${\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1})$

— оператор Дольбо. Напомним, что

${\bar {\partial }}^{2}=0.$

Этот оператор можно использовать для определения когомологий. В частности, определите когомологии как фактор-пространство

$H^{p,q}(M,\mathbb {C} )=\ker \left({\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q},M)\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M)\right)/{\bar {\partial }}\Gamma (\Omega ^{p,q-1}).$

Теорема Дольбо

Теорема Дольбо является комплексным аналогом теоремы де Рама. Она утвержадет, что когомологии Дольбо изоморфны когомологиям пучка пучка голоморфных дифференциальных форм. То есть

$H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})$

где $\Omega ^{p}$пучок голоморфных p-форм на M.

Литература

• Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982.
• Dolbeault, Pierre (1953). "Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 236: 175—277.