Константа Чигера

Изопериметрической константой Чигера компактного риманова многообразия M называется положительное вещественное число h(M), определяемое через минимальную площадь гиперповерхности, которая делит M на две непересекающиеся части равного объёма. В 1970-м году Джеф Чигер доказал неравенство, связывающее первое нетривиальное собственное число оператора Лапласа — Бельтрами на M с числом h(M). Это доказательство оказало большое влияние на риманову геометрию и способствовало созданию аналогичной концепции в теории графов.

Определение

Пусть M — n-мерное замкнутое риманово многообразие. Обозначим через V(A) объём произвольного n-мерного подмногообразия A; через S(E) обозначим n−1-мерный объём подмногообразия E (обычно в этом контексте его называют «площадью»). Тогда изопериметрическая константа Чигера многообразия M определяется как:

$h(M)=\inf _{E}{\frac {S(E)}{\min(V(A),V(B))}},$

где инфимум берётся по всем гладким n−1-мерным подмногообразиям E многообразия M, которые делят его на два непересекающихся подмногообразия A и B. Изопериметрическая константа может быть определена и для некомпактных римановых многообразий конечного объёма.

Неравество Чигера

Константа Чигера h(M) и наименьшее положительное собственное число оператора Лапласа $\scriptstyle {\lambda _{1}(M)}$ связаны следующим фундаментальным неравенством, доказанным Чигером:

$\lambda _{1}(M)\geq {\frac {h^{2}(M)}{4}}.$

Это неравенсво оптимально в следующем смысле: для любого h > 0, натурального числа k и ε > 0 существует двумерное риманово многообразие M с изопериметрической константой h(M) = h и такое, что k-ое собственное число оператора Лапласа находится на расстоянии не более ε от границы Чигера (Бузер, 1978).

Неравенство Бузера

Питер Бузер нашёл выражение для верхней границы $\scriptstyle {\lambda _{1}(M)}$ через изопериметрическую константу h(M). Пусть M — n-мерное замкнутое риманово многообразие, кривизна Риччи которого ограничена сверху числом −(n−1)a², где a ≥ 0.

Тогда:

$\lambda _{1}(M)\leq 2a(n-1)h(M)+10h^{2}(M).$

См. также

• Константа Чигера (теория графов)
• Изопериметрическая задача

Ссылки

• Peter Buser, A note on the isoperimetric constant. — Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 15 (1982), no. 2, 213—230 MR: 0683635
• Peter Buser, «Über eine Ungleichung von Cheeger». — Math. Z. 158 (1978), no. 3, 245—252. MR: 0478248
• Джеф Чигер, A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian. — Problems in analysis (Papers dedicated to Salomon Bochner, 1969), pp. 195—199. Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970 MR: 0402831

• Александр Любоцкий, Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. — Progress in Mathematics, vol 125, Birkhäuser Verlag, Basel, 1994