Константа де Брёйна — Ньюмана

Константа де Брёйна — Ньюмана — математическая константа, обозначаемая Λ. Названа в честь Николаса Говерта де Брёйна и Чарльза М. Ньюмана.

Описание

Рассмотрим кси-функцию Римана:

$\Xi (iz)={\frac {1}{2}}\left(z^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\pi ^{-{\frac {z}{2}}-{\frac {1}{4}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{4}}\right)\zeta \left(z+{\frac {1}{2}}\right)$.

Выражение ${\frac {\Xi (z/2)}{8}}$ может быть представлено в виде преобразования Фурье:

$\Phi (t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(2\pi ^{2}n^{4}e^{9t}-3\pi n^{2}e^{5t}\right)e^{-\pi n^{2}e^{4t}}$

для $t\in \mathbb {R} \geq 0$. Тогда обозначим преобразование Фурье $\Phi (t)e^{\lambda t^{2}}$ как $H(\lambda ,z)$:

${\mathcal {F}}_{t}\left[\Phi (t)e^{\lambda t^{2}}\right]=H(\lambda ,z)$.

Константа определяется через нули функции H(λ, z). Она имеет вещественные нули тогда и только тогда, когда λ ≥ Λ. Константа тесно связана с гипотезой Римана относительно нулей дзета-функции Римана.

Значение

Де Брёйн показал в 1950 году, что H имеет только вещественные нули при λ > 1/2, а кроме этого, что если H имеет только вещественные нули при некотором λ, то H также имеет только вещественные нули и при бо́льших значениях λ. Указанная де Брёйном верхняя граница Λ ≤ 1/2 не была доказана вплоть до 2008 года, когда Haseo Ki, Young-One Kim и Jungseob Lee доказали, что Λ < 1/2, сделав доказательство строгим.

В декабре 2018 года проектом Polymath верхняя граница константы Λ была улучшена до 0,22.

По состоянию на апрель 2020 года, лучшая верхняя граница константы Λ ≤ 0,2.

Серьёзные расчёты по нахождению нижней границы производились с 1988 года и продолжаются до сих пор (по состоянию на 2018 год):

Год	Нижняя граница Λ
1988	−50
1991	−5
1990	−0.385
1994	−4.379×10−6
1993	−5.895×10−9
2000	−2.7×10−9
2011	−1.1×10−11
2018	≥ 0

Так как $H(\lambda ,x)$ является преобразованием Фурье $F(e^{\lambda x}\Phi )$, то H имеет представление Винера-Хопфа:

$\xi (1/2+iz)=A{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}}H(\lambda ,x)dx$,

которое действует только для неотрицательных значений λ. В пределе λ стремится к 0, тогда $H(0,x)=\xi (1/2+ix)$ в случае, если λ отрицательна, H определяется следующим образом:

$H(\lambda ,z)=B{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}}\xi (1/2+ix)dx$.

Здесь A и B — вещественные константы.

В январе 2018 года Брэд Роджерс и Теренс Тао опубликовали статью на arXiv.org, в которой они утверждают, что константа де Брейна-Ньюмана неотрицательна.