Конструкция Штейнера

Конструкция Штейнера — способ определения невырожденного конического сечения в проективной плоскости над полем. Была предложена швейцарским математиком Якобом Штейнером.

1. Конструкция Штейнера

2. Перспективное отображение прямых

3. Пример конструкции Штейнера: построение точки P

Конструкция

• Пусть даны два пучка прямых $B(U),B(V)$ в точках $U,V$ (все прямые, содержащие $U$ и $V$ соответственно) и проективное, но не перспективное отображение $\pi$ из $B(U)$ в $B(V)$. Тогда точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение (изображение 1)

Перспективное отображение $\pi$ пучка $B(U)$ в пучок $B(V)$ — это биекция, такая, что соответствующие прямые пересекаются на фиксированной прямой $a$, называемой осью перспективного отображения $\pi$ (изображение 2).

Проективное отображение — это композиция конечного числа перспективных отображений.

Примеры часто используемых полей — это действительные числа $\mathbb {R}$, рациональные числа $\mathbb {Q}$ и комплексные числа $\mathbb {C}$. Конструкция также работает над конечными полями, давая примеры в конечных проективных плоскостях.

Замечание: Основная теорема для проективных плоскостей утверждает, что проективное отображение в проективной плоскости над полем однозначно определяется образами трёх прямых. Это значит, что для конструкции Штейнера, кроме двух точек $U,V$ должны быть заданы только образы трёх прямых. Поскольку образ прямой однозначно определяется точкой пересечения с образом, отсюда следует, что коника однозначно определяется пятью лежащими на ней точками.

Пример

В следующем примере известны образы трёх прямых $a,u,w$ (см. изображение 3): $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$. Проективное отображение $\pi$ является композицией перспективных отображений $\pi _{b},\pi _{a}$: 1) $\pi _{b}$ — это перспективное отображение пучка в точке $U$ на пучок в точке $O$ с осью $b$. 2) $\pi _{a}$ — это перспективное отображение пучка в точке $O$ на пучок в точке $V$ с осью $a$. Нужно проверить, что $\pi =\pi _{a}\pi _{b}$ обладает следующими свойствами: $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$. Таким образом, для произвольной прямой $g$ может быть построен её образ $\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$. Прямые $u$ и $v$ содержат только точки коники $U$ и $V$ соответственно. Следовательно, $u$ и $v$ являются касательными к построенной конике.

Доказательство того, что этот метод позволяет построить конику, производится путём перехода к аффинной карте, в которой прямая $w$ является бесконечно удалённой прямой, точка $O$ — началом координат, точки $U,V$ — точками на бесконечности, соответствующими осям x и y соответственно. и точка $E=(1,1)$. Аффинная часть построенной коники оказывается гиперболой $y=1/x$.

Построение Штейнера двойственной коники

Двойственный эллипс

Построенная по Штейнеру двойственная коника

Определение перспективного отображения

Пример построения двойственной коники по Штейнеру

Определения

При переходе к двойственной проективной плоскости меняются местами слова «точка» и «прямая» и операции пересечения прямых и соединения точек. Двойственная проективная плоскость также является проективной плоскостью и на ней можно ввести однородные координаты. Невырожденное конической сечение в двойственной проективной плоскости также определяется квадратичной формой.

Двойственная коника может быть построена двойственным методом Штейнера:

• Пусть даны прямые $u,v$ и проективное, но не перспективное отображение $\pi$ из $u$ в $v$. Тогда прямые, соединяющие соответственные точки, образуют двойственное невырожденное проективное коническое сечение.

Перспективное отображение $\pi$ множества точек на прямой $u$ на множество точек на прямой $v$ — это биекция, такая, что прямые, соединяющие соответственные точки, пересекаются в фиксированной точке $Z$, которая называется центром перспективного отображения $\pi$ (см. изображение).

Проективное отображение — это композиция конечного числа перспективных отображений.

В случае, когда основное поле имеет характеристику 2, все касательные коники пересекаются в точке, называемой узлом (или ядром) коники. Следовательно, коника, двойственная к невырожденной конике, является подмножеством двойственной прямой, а не овальной кривой (в двойственной плоскости). Так что двойственная коника является невырожденной только в том случае, когда характеристика основного поля не равна 2.

Пример

В следующем примере известны образы трёх точек $A,U,W$: $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$. Проективное отображение $\pi$ может быть представлено как композиция перспективных отображений $\pi _{B},\pi _{A}$:

1) $\pi _{B}$ — это перспективное отображение множества точек на прямой $u$ на множество точек на прямой $o$ с центром $B$.

2) $\pi _{A}$ — это перспективное отображение множества точек на прямой $o$ на множество точек на прямой $v$ с центром $A$.

Лекгко проверяется, что отображение $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ удовлетворяет $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$. Таким образом, для произвольной точки $G$ может быть построен её образ $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ и прямая ${\overline {G\pi (G)}}$ является элементом двойственной коники.

Литература

• Coxeter, H. S. M. The Real Projective Plane, Springer Science & Business Media, 1993
• Hartmann, Erich, Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes
• Merserve, Bruce E. Fundamental Concepts of Geometry, Dover, (1983) [1959], ISBN 0-486-63415-9