Континуанта — определённый многочлен от нескольких переменных, связанный с цепными дробями .
Континуанта индекса n есть многочлен
K
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}
рекуррентным соотношением :
K
−
1
=
0
,
K
0
=
1
,
{\displaystyle K_{-1}=0,\qquad K_{0}=1,}
K
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
x
n
K
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
+
K
n
−
2
(
x
1
,
…
,
x
n
−
2
)
.
{\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-2}).}
Через определитель
править
Континуанта может быть также определена как определитель трёхдиагональной матрицы
K
n
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
det
(
x
1
1
0
⋯
0
−
1
x
2
1
⋱
⋮
0
−
1
⋱
⋱
0
⋮
⋱
⋱
⋱
1
0
⋯
0
−
1
x
n
)
.
{\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.}
Континуанта
K
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}
одночленов , получаемых из одночлена
x
1
⋅
…
⋅
x
n
{\displaystyle x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}
правило Эйлера ).
Пример:
K
5
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
=
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
+
x
3
x
4
x
5
+
x
1
x
4
x
5
+
x
1
x
2
x
5
+
x
1
x
2
x
3
+
x
1
+
x
3
+
x
5
.
{\displaystyle K_{5}(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4},\;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}\;+\;x_{3}\;+\;x_{5}.}
Следствие:
Континуанты обладают зеркальной симметрией:
K
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
K
n
(
x
n
,
…
,
x
1
)
.
{\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=K_{n}(x_{n},\;\ldots ,\;x_{1}).}
K
n
(
1
,
…
,
1
)
=
F
n
+
1
{\displaystyle K_{n}(1,\;\ldots ,\;1)=F_{n+1}}
число Фибоначчи .Справедливо тождество:
K
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
K
n
−
1
(
x
2
,
…
,
x
n
)
=
x
1
+
K
n
−
2
(
x
3
,
…
,
x
n
)
K
n
−
1
(
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=x_{1}+{\frac {K_{n-2}(x_{3},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}}
В поле рациональных дробей
K
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
K
n
−
1
(
x
2
,
…
,
x
n
)
=
[
x
1
;
x
2
,
…
,
x
n
]
=
x
1
+
1
x
2
+
1
x
3
+
…
{\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=[x_{1};\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\ldots }}}}}}
цепная дробь .
Справедливо матричное соотношение:
(
K
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
K
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
K
n
−
1
(
x
2
,
…
,
x
n
)
K
n
−
2
(
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
)
=
(
x
1
1
1
0
)
×
…
×
(
x
n
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\\K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\times \ldots \times {\begin{pmatrix}x_{n}&1\\1&0\end{pmatrix}}}
Откуда для определителей получается тождество:
K
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⋅
K
n
−
2
(
x
2
,
…
,
x
n
−
1
)
−
K
n
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
⋅
K
n
−
1
(
x
2
,
…
,
x
n
)
=
(
−
1
)
n
.
{\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=(-1)^{n}.}
А также:
K
n
−
1
(
x
2
,
…
,
x
n
)
⋅
K
n
+
2
(
x
1
,
…
,
x
n
+
2
)
−
K
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⋅
K
n
+
1
(
x
2
,
…
,
x
n
+
2
)
=
(
−
1
)
n
+
1
x
n
+
2
.
{\displaystyle K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.}
![{\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=[x_{1};\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\ldots }}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7219eab9c6f5dd867d355ee1894db924164168ae)
