Коррелограммный метод

Коррелограммный метод — один из методов оценки спектральной плотности мощности сигнала.

Предварительные сведения

Математическое ожидание случайной величины $x(n)$ (среднее) есть: $E[x(n)]=\lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum \limits _{n=-N}^{N}x_{n}$. Автокорреляционная функция определяется как скалярное произведение сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения т. н. корреляционного сдвига $m$: $r_{xx}(m)=E[x(n+m)x(n)]$.

Сущность метода

Согласно теореме Винера-Хинчина автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности $S(\omega )$ связаны соотношением (преобразованием Фурье): $S(\omega )=T\sum \limits _{m=-\infty }^{+\infty }r_{xx,m}e^{-j\omega mT}$, где $T$ — интервал дискретизации. На практике для вычисления спектральной плотности мощности используют ограниченную сумму и некоторую оценку автокорреляционной функции. Например, можно использовать оценку $r_{xx}^{1}={\frac {1}{N-m}}\sum \limits _{n=0}^{N-M-1}x_{n+m}x_{n}$, которая является несмещенной (то есть $E[r_{xx}^{1}]=r_{xx}$). Также можно пользоваться смещенной оценкой: $r_{xx}^{2}={\frac {1}{N}}\sum \limits _{n=0}^{N-M-1}x_{n+m}x_{n}$, математическое ожидание которой $E[r_{xx}^{2}]={\frac {N-m}{N}}r_{xx}$. При наличии оценки (например, несмещенной) автокорреляционной функции для максимально возможного корреляционного сдвига $L$, вычисление спектральной плотности мощности выполняется по формуле: $S_{1}(\omega )=T\sum \limits _{m=-L}^{L}r_{xx,m}^{1}e^{-j\omega mT}$.

Коррелограммный метод дополняется умножением автокорреляционной функции на функцию весового окна $w(m)$: $S_{1}(\omega )=T\sum \limits _{m=-L}^{L}r_{xx,m}^{1}w_{m}e^{-j\omega mT}$.

Литература

• Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1985.
• Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. — М.: Мир, 1982.