Коэффициент связи резонаторов

Коэффициент связи резонаторов — безразмерная величина, характеризующая степень взаимодействия двух резонаторов

Коэффициенты связи используют в теории резонаторных фильтров. Резонаторы фильтров могут быть как электромагнитными, так и акустическими. Вместе с резонансными частотами и внешними добротностями резонаторов коэффициенты связи являются обобщёнными параметрами фильтров. Для осуществления настройки амплитудно-частотной характеристики фильтра бывает вполне достаточно ограничиться оптимизацией только этих обобщённых параметров.

Эволюция определения термина

Этот термин в теорию фильтров впервые ввёл M. Dishal [1]. В некоторой степени он является аналогом коэффициента связи двух индуктивностей или коэффициентов связи двух колебательных контуров. Значение этого термина многократно уточнялось с развитием теории связанных резонаторов и фильтров. Более поздние определения коэффициента обобщают или уточняют предшествующие определения.

Коэффициент связи, рассматриваемый как положительная константа

Из ранних определений коэффициента связи резонаторов широко известны определения, содержащиеся в монографии Г. Маттея и др [2]. Следует сразу оговориться, что эти определения являются приближёнными, так как они сформулированы в предположении, что связь между резонаторами достаточно мала. В монографии [2] коэффициент связи $k$ для случая двух одинаковых резонаторов определяется формулой

$k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},$ (1)

где $f_{e},$ $f_{o}$ — частоты чётных и нечётных связанных колебаний ненагруженной пары резонаторов, а $f_{0}={\sqrt {f_{o}f_{e}}}.$ Видно, что коэффициент связи, выражаемый формулой (1), является положительной константой, характеризующей взаимодействие резонаторов на резонансной частоте $f_{0}.$

В случае, когда паре связанных резонаторов с одинаковыми резонансными частотами можно сопоставить соответствующую эквивалентную схему с инвертором сопротивления (проводимости), нагруженным с обеих сторон на резонансные двухполюсники, коэффициент связи $k$ определяется формулой

$k=K_{12}/{\sqrt {x_{1}x_{2}}}$ (2)

для резонаторов последовательного типа и формулой

$k=J_{12}/{\sqrt {b_{1}b_{2}}}$ (3)

для резонаторов параллельного типа. Здесь $K_{12},$ $J_{12}$ — параметры инвертора сопротивления и инвертора проводимости, $x_{1},$ $x_{2}$ — параметры крутизны реактивного сопротивления первого и второго резонатора последовательного типа на резонансной частоте $f_{0},$ а $b_{1},$ $b_{2}$ — параметры крутизны реактивной проводимости первого и второго резонатора параллельного типа.

Когда резонаторами являются колебательные LC-контуры, коэффициент связи, согласно формулам (2) и (3), принимает значение

$k_{L}=L_{m}/{\sqrt {L_{1}L_{2}}}$ (4)

для резонаторов с индуктивной связью и значение

$k_{C}=C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}$ (5)

для резонаторов с ёмкостной связью. Здесь $L_{1},$ $C_{1}$ — индуктивность и ёмкость первого контура, $L_{2},$ $C_{2}$ — индуктивность и ёмкость второго контура, а $L_{m},$ $C_{m}$ — межконтурная (взаимная) индуктивность и межконтурная ёмкость. Формулы (4) и (5) давно известны в теории электрических цепей. Они выражают значения коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи колебательных контуров.

Коэффициент связи, рассматриваемый как имеющая знак константа

Уточнение приближённой формулы (1) было сделано в [3]. Точная формула имеет вид

$k=(f_{o}^{2}-f_{e}^{2})/(f_{o}^{2}+f_{e}^{2}).$ (6)

При выводе этого выражения использовались формулы (4) и (5). Формула (6) стала общепризнанной. Она в частности приведена в часто цитируемой монографии Дж-Ш. Хонга [4]. Видно, что коэффициент связи резонаторов $k$ имеет отрицательное значение, если $f_{o}<f_{e}.$

Согласно определению (6), коэффициент индуктивной связи колебательных контуров $k_{L}$ по-прежнему выражается формулой (4). Он имеет положительное значение при $L_{m}>0$ и отрицательное значение при $L_{m}<0.$

Коэффициент же ёмкостной связи колебательных контуров $k_{C}$ всегда отрицателен. Согласно (6), формула (5) для коэффициента ёмкостной связи колебательных контуров приобретает иной вид

$k_{C}=-C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}.$ (7)

Связь между электромагнитными резонаторами может осуществляться как по магнитному, так и по электрическому полю. Связь по магнитному полю характеризуют коэффициентом индуктивной связи $k_{L},$ а связь по электрическому полю — коэффициентом ёмкостной связи $k_{C}.$ Абсолютные величины $k_{L}$ и $k_{C}$ обычно монотонно убывают с увеличением расстояния между резонаторами. Скорость убывания одного из них может отличаться от скорости убывания другого. Однако абсолютная величина суммы коэффициентов $k_{L}$ и $k_{C}$ может не только убывать, но и возрастать на некотором участке с увеличением расстояния [5].

Сложение коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи резонаторов выполняется по формуле [3]

$k=(k_{L}+k_{C})/(1+k_{L}k_{C}).$ (8)

Эта формула получается из определения (6) с учётом формул (4) и (7).

Следует заметить, что сам по себе знак коэффициента связи $k$ значения не имеет. Свойства резонаторного фильтра не изменятся, если одновременно поменять в нём знаки всех коэффициентов связи. Однако он важен при сопоставлении двух коэффициентов связи и в частности при сложении коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи.

Коэффициент связи, рассматриваемый как функция частоты вынужденных колебаний

Два связанных резонатора могут взаимодействовать не только на резонансных частотах. Это подтверждается возможностью передачи энергии вынужденных колебаний от одного резонатора к другому. Поэтому взаимодействие резонаторов правильнее характеризовать не множеством констант $k_{i},$ отвечающих дискретному спектру резонансных частот $f_{i},$ а одной непрерывной функцией частоты вынужденных колебаний $k(f).$

Очевидно, что эта функция должна отвечать условию

$k(f)|_{f=f_{i}}=k_{i}.$ (9)

Кроме того, функция $k(f)$ должна обращаться в нуль на тех частотах $f_{z},$ на которых отсутствует передача высокочастотной мощности от одного резонатора к другому, то есть должна отвечать и второму условию

$k(f)|_{f=f_{z}}=0.$ (10)

Нуль передачи мощности в частности возникает в колебательных контурах с комбинированной индуктивно-ёмкостной связью, когда взаимная индуктивность $L_{m}>0.$ Его частота $f_{z}$ выражается формулой [6]

$f_{z}={\sqrt {L_{m}/[(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}]}}/(2\pi ).$ (11)

На основе энергетического подхода в [6] было сформулировано определение функции $k(f),$ обобщающей формулу (6) и удовлетворяющей условиям (9) и (10). Эта функция по формуле (8) выражается через частотно-зависимые коэффициенты индуктивной и ёмкостной связи $k_{L}(f)$ и $k_{C}(f),$ определяемые формулами

$k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},$ (12)

$k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.$ (13)

Здесь $W$ обозначает энергию высокочастотного электромагнитного поля, запасаемую обоими резонаторами. Черта над $W$ обозначает постоянную составляющую энергии, а точка — амплитуду колеблющейся составляющей энергии. Индекс $L$ обозначает магнитную часть энергии, а индекс $C$ — электрическую часть энергии. Индексы 11, 12 и 22 обозначают части запасаемой энергии, пропорциональные соответственно $|U_{1}|^{2},$ $|U_{1}||U_{2}|$ и $|U_{2}|^{2},$ где $U_{1}$ — комплексная амплитуда напряжения на порте первого резонатора, а $U_{2}$ — комплексная амплитуда напряжения на порте второго резонатора.

Из определений (12) и (13) в частности получаются формулы для частотной зависимости коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи произвольных колебательных контуров [6]

$k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},$ (14)

$k_{C}(f)={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})}}}.$ (15)

где $f_{1},f_{2}$ — резонансные частоты первого и второго контура, возмущённые связями. Видно, что значения функций $k_{L}(f)$ и $k_{C}(f)$ при $f=f_{1}=f_{2}$ совпадают с константами $k_{L}$ и $k_{C},$ определяемыми формулами (4) и (5). Кроме того, функция $k(f),$ рассчитываемая по формулам (8), (14) и (15), обращается в нуль на частоте $f_{z},$ выражаемой формулой (11).

Коэффициенты связи в теории фильтров

Полосно-пропускающие фильтры с линейной топологией связей

Теория микроволновых узкополосных полосно-пропускающих фильтров с чебышёвской частотной характеристикой изложена в монографии [2]. В таких фильтрах резонансные частоты всех резонаторов настроены на центральную частоту заданной полосы пропускания $f_{0}.$ Каждый из резонаторов связан не более чем с двумя соседними резонаторами. Каждый из двух крайних резонаторов связан с одним соседним резонатором и с одним из двух портов фильтра. Такую топологию связей резонаторов называют линейной. При линейной топологии связей существует только один канал прохождения микроволновой мощности от входного порта к выходному порту.

Для фильтров с линейной топологии связей в монографии [2] приведён вывод приближённых формул для значений коэффициентов связи соседних резонаторов $k_{i,i+1},$ отвечающих заданной амплитудно-частотной характеристике фильтра, где $i$ и $i+1$ — порядковые номера связанных резонаторов. При выводе формул использовались фильтры-прототипы нижних частот, а также формулы (2) и (3). Амплитудно-частотные характеристики фильтров-прототипов описываются многочленами Чебышёва. Впервые эти формулы были опубликованы в [7]. Они имеют вид

$k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{2}f_{1}g_{i}g_{i+1}}}},$ (16)

где $g_{i}$ $(i=0,1,2...n+1)$ — нормированные параметры фильтра-прототипа нижних частот, $n$ — порядок многочлена Чебышёва, равный числу резонаторов в фильтре, $f_{1},f_{2}$ — граничные частоты полосы пропускания.

Значения нормированных параметров $g_{i}$ для заданной полосы пропускания фильтра рассчитываются по формулам

$g_{0}=1,$ $g_{1}=2a_{1}/\gamma ,$

$g_{k}={\frac {4a_{k-1}a_{k}}{b_{k-1}g_{k-1}}},$ $k=2,3\dots n,$ (17)

$g_{n+1}=1,$ если $n$ чётное,

$g_{n+1}=\mathrm {cth} \,^{2}(\beta /4),$ если $n$ нечётное.

Здесь использованы обозначения

$\beta =2\mathrm {arth} \,{\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},$ $\gamma =\mathrm {sh} \,({\frac {\beta }{2n}}),$ (18)

$a_{k}=\mathrm {sin} \,{\frac {2(k-1)\pi }{2n}},$ $b_{k}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} \,^{2}(k\pi /n),$ $(k=1,2...n),$

где $\Delta L$ — требуемая неравномерность затухания в полосе пропускания, выраженная в децибелах.

Формулы (16) являются приближёнными не только потому, что при их выводе использовались приближённые определения коэффициентов (2) и (3). Точные выражения для коэффициентов связи в фильтре-прототипе были получены в [8]. Однако и после уточнения эти формулы остаются приближёнными при конструировании реальных фильтров. Их точность зависит от конструкции фильтра и конструкции его резонаторов. Она повышается с уменьшением относительной ширины полосы пропускания.

В [9] было показано, что причина погрешности формул (16) и их уточнённого варианта связана с частотной дисперсией коэффициентов связи, которая может сильно различаться для резонаторов и фильтров различных конструкций. Другими словами, оптимальные значения коэффициентов связи $k_{i,i+1}$ на частоте $f_{0}$ зависят не только от параметров требуемой полосы пропускания фильтра, но и значений производных $dk_{i,i+1}(f)/df|_{f=f_{0}}.$ Это значит, что точные значения коэффициентов $k_{i,i+1},$ обеспечивающих требуемую полосы пропускания фильтра, не могут быть заранее известны. Их можно установить лишь после оптимизации фильтра. Поэтому формулы (16) можно использовать только в качестве начальных значений для обобщённых параметров фильтров перед их оптимизацией.

Приближённые формулы (16) также позволяют установить ряд общих закономерностей, присущих любым фильтрам с линейной топологией связей. Например, увеличение текущей ширины полосы пропускания фильтра требует приблизительно пропорционального увеличения всех коэффициентов связи $k_{i,i+1}.$ Коэффициенты $k_{i,i+1}$ симметричны относительно центрального резонатора или центральной пары резонаторов даже в фильтрах с неравными волновыми сопротивлениями линий передачи на входном и выходном порте. Величина коэффициентов $k_{i,i+1}$ монотонно убывает при переходе от крайних пар резонаторов к центральной паре.

Реальные конструкции фильтров с линейной топологией связи в отличие от их фильтров-прототипов могут иметь нули прохождения в полосах заграждения [10]. Нули прохождения существенно улучшают селективные свойства фильтров. Одной из причин возникновения нулей является частотная дисперсия коэффициентов связи $k_{i,i+1}$ для одной или нескольких пар резонаторов фильтра, выражающаяся в их обращении в нуль на частоте нуля прохождения мощности [11].

Полосно-пропускающие фильтры с перекрёстными связями

Для формирования нулей прохождения в полосах заграждения фильтров с целью повышения их селективных свойств, в фильтрах помимо ближайших связей часто создают дополнительные связи между резонаторами, которые называют перекрёстными. Такие связи приводят к образованию нескольких каналов прохождения электромагнитной волны от входного порта фильтра к выходному порту. Амплитуды волн, прошедшие по разным каналам фильтра, при суммировании на выходе могут полностью погашаться на отдельных частотах, приводя к образованию нулей прохождения.

Для описания связей резонаторов в таких фильтрах используют матрицу связей $\mathbf {M}$ размерности $n\times n$ [12, 4]. Она симметрична. Её каждый недиагональный элемент $M_{ij}$ является коэффициентом связи i-го и j-го резонаторов $k_{ij}.$ Каждый диагональный элемент $M_{ii}$ является реактансом (иммитансом) i-го резонатора на центральной частоте $f_{0}$. В настроенном фильтре все элементы $M_{ii}$ равны нулю, так реактансы на резонансных частотах обращаются в нуль.

Достоинством матриц $\mathbf {M}$ является то, что они позволяют непосредственно рассчитать частотную характеристику для эквивалентной схемы фильтра, содержащей индуктивно связанные колебательные контуры [12, 4]. Поэтому их удобно использовать при проектировании фильтров с перекрёстными связями. В частности матрицы $\mathbf {M}$ часто используют при оптимизации фильтров в качестве их грубой модели. Использование грубой модели позволяет многократно ускорить оптимизацию фильтра за счёт того, расчёт частотной характеристики грубой модели практически не требует затрат машинного времени по сравнению с расчётом характеристики реального фильтра.

Литература

1. Dishal. M. Design of dissipative band-pass filters producing desired exact amplitude-frequency characteristics // Proc. IRE. — Sept. 1949. — Vol. 37. — № 9. — P. 1050—1069.
2. Маттей Г. Л., Янг Л., Джонс Е. М. Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т. 1. — М.: Связь, 1971. — 439 с.
3. Тюрнев В. В., Беляев Б. А. Взаимодействие параллельных микрополосковых резонаторов // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. — 1990. Вып. 4(428). — С. 25-30.
4. Hong J-S. Microstrip filters for RF/microwave applications. — Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2011. — 635 p.
5. Беляев Б. А., Титов М. М., Тюрнев В. В. Коэффициент связи нерегулярных микрополосковых резонаторов // Известия вузов. Радиофизика. — 2000. — Т. 43. — № 8. — С. 722—727.
6. Тюрнев В. В. Коэффициент связи асимметричной пары СВЧ резонаторов // Радиотехника и электроника. — 2002. — Т. 47. — № 1. — С. 5-13.
7. Cohn S.B. Direct-coupled-resonator filter // Proc. IRE. — 1957. — V. 45. — № 2. — P. 187—196.
8. Тюрнев В. В. Прямой вывод и уточнение обобщённых формул Кона-Маттея для коэффициентов связи резонаторов в фильтре сверхвысоких частот // Радиотехника и электроника. — 2008. — Т. 53. — № 5. — С. 584—587.
9. Тюрнев В. В. Влияние частотной дисперсии коэффициентов связи резонаторов на погрешность формул прямого синтеза фильтров сверхвысоких частот // Радиотехника и электроника. — 2009. — Т. 54. — № 3. — С. 314—317.
10. Беляев Б. А., Лексиков А. А., Тюрнев В. В. Частотно-селективные свойства многозвенных фильтров на регулярных микрополосковых резонаторах // Радиотехника и электроника. — 2004. — Т. 49. — № 11. — С. 1315—1324.
11. Беляев Б. А., Тюрнев В. В. Частотно-зависимые коэффициенты связи микрополосковых резонаторов // Электронная техника. Сер. СВЧ-техника. — 1992. — Вып. 4(448). — С. 23-27.
12. Cameron R.J., Kudsia C.M., Mansour R.R. Microwave filters for communication systems: fundamentals, design, and applications. — Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2007. — 771 p.

Ссылки

• V.V. Tyurnev. Coupling coefficients of resonators in microwave filter theory // Progress In Electromagnetics Research B, V. 21, P. 47-67, 2010.