Критерий Дюлака

Критерий Дюлака — теорема в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений и динамических систем, сформулированная французским математиком Анри Дюлаком. Представляет собой достаточное условие того, что в односвязной области на плоскости векторное поле не имеет замкнутых траекторий (циклов) и полициклов.

Формулировка

Векторное поле, имеющее замкнутую траекторию, внутри неё имеет область с положительной и область с отрицательной дивергенцией. На рисунке они изображены разными цветами.

Пусть на плоскости задано непрерывно дифференцируемое векторное поле, то есть система обыкновенных дифференциальных уравнений

${\dot {x}}=f(x,y),\,\,\,\,{\dot {y}}=g(x,y)$.

Если в односвязной области $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ существует гладкая функция $B(x,y)$, такая, что выражение

${\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}$

знакопостоянно и не обращается в ноль на $D$, то в этой области не существует замкнутых кривых, состоящих из траекторий системы.

Функцию $B(x,y)$ называют функцией Дюлака. Частный случай критерия Дюлака с функцией $B(x,y)=1$ называется теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий.

Доказательство

Без потери общности можно предположить, что в односвязной области $D$ существует функция $B(x,y)$ такая, что:

${\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}>0$

Пусть $C$ — замкнутая кривая, состоящая из одной или нескольких траекторий, которая ограничивает некоторую область $S\subset D$. Тогда из теоремы Грина следует равенство

$\iint _{S}{\left({\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}\right)dxdy}=\oint _{C}{\left(B(x,y)\cdot f(x,y)\,dy-B(x,y)\cdot g(x,y)\,dx\right)}=\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}.$

Но, так как вдоль $C$: $dx={\dot {x}}\,dt$ и $dy={\dot {y}}\,dt$, то:

$\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}=\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}{\dot {y}}\,dt-{\dot {y}}{\dot {x}}\,dt\right)}=0$

Это означает, что траектория $C$ не может быть замкнутой. ■

Литература

• Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости (2-е изд., доп.) М.: Наука, 1990. 486 с.
• Carmen Charles Chicone. Ordinary differential equations with applications
• N. F. Britton. Essential mathematical biology
• Henryk Zoladek. The monodromy group