Критерий Лиувилля — Мордухай-Болтовского

Критерий Лиувилля — Мордухай-Болтовского — критерий существования решения в обобщенных квадратурах линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения произвольного порядка.

История

Частный случай критерия (для линейных однородных уравнений второго порядка) был доказан французским математиком Лиувиллем в 1839 году. Развивая метод Лиувилля, русский математик Мордухай-Болтовской в 1910 году доказал критерий для уравнений произвольного порядка:

Формулировка

Дифференциальное уравнение n-го порядка

$y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{n}y=0$

с коэффициентами $p_{i}$ из функционального дифференциального поля $K$, все элементы которого представимы в обобщенных квадратурах, решается в обобщенных квадратурах, тогда и только тогда, когда выполнены оба следующие условия:

• Во-первых, оно имеет решение вида

$y_{1}(x)=\exp \int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,$

где $f$ — функция, лежащая в некотором алгебраическом расширении $K_{1}$ поля $K$,

• Во-вторых, дифференциальное уравнение (n−1)-го порядка на функцию $z=y'-{\frac {y_{1}'}{y_{1}}}y$ с коэффициентами из поля $K_{1}$, полученное из исходного уравнения процедурой понижения порядка, решается в обобщенных квадратурах над полем $K_{1}$.

Литература

• А. Г. Хованский. Топологическая теория Галуа: разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде. — М.: Издательство МЦНМО, 2008. — 296 с.