Кусочно-заданная функция

Кусо́чно-за́данная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на множестве вещественных чисел, которая задана отдельной формулой (или другим способом задания функции) на каждом из интервалов, составляющих область её определения.

Кусочно-аффинная функция - это числовая функция от одной переменной такая, что всю её область определения можно "разделить" на промежутки так, что на внутренности каждого из промежутков функция аффинная.

Формальное определение и задание править

Пусть заданы $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$ — точки смены задания функции.

Кусочно-заданные функции обычно задают на каждом из интервалов $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )$ отдельно. Формально записывают это в виде:

$f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2}\\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{cases}}$ .

На некоторых из интервалов либо в некоторых точках в общем случае кусочно-заданная функция может быть не определена.

Виды кусочно-заданных функций править

Если все функции — постоянные, то $f(x)$ — кусочно-постоянная функция.
Если все функции $f_{i}(x)$ являются линейными функциями, то $f(x)$ — кусочно-линейная функция.
Если все функции $f_{i}(x)$ являются непрерывными функциями, то $f(x)$ — кусочно-непрерывная функция. При этом сама она может не являться непрерывной.
Если все функции $f_{i}(x)$ являются дифференцируемыми функциями, то $f(x)$ — кусочно-гладкая функция. При этом точки смены функций могут быть, а могут и не быть точками излома.
Если все функции $f_{i}(x)$ являются монотонными функциями, то $f(x)$ — кусочно-монотонная функция. При этом на соседних интервалах знак первой производной может быть разный, то есть нарастающие или падающие функции.

Примеры часто используемых кусочно-заданных функций править

Абсолютная величина (модуль) $y=|x|$ .
Функция знака $y=\operatorname {sgn}(x)$ .
Функция Хевисайда $\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}$
Кусочно-линейная функция.
Сплайн.
B-сплайн.