Лаговый оператор

Ла́говый оператор — оператор сдвига, позволяющий получить значения элементов временного ряда на основании ряда предыдущих значений.

Для временного ряда $X=\{X_{1},X_{2},\dots \}\,$ лаговый оператор представим в виде:

$L^{k}X_{t}=X_{t-k}$,

при этом:

• $L^{0}=1$,
• $L\mu =\mu$ ($\mu ={\text{const}}$),
• $L^{-1}X_{t}=X_{t+1}$.

При этом оператор $\Delta =1-L$ создаёт конечную разность 1-го порядка: $\Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-1}$.

С лаговым оператором неразрывно связано понятие лагового многочлена:

$\Theta (L)=\sum _{i=0}^{N}\theta _{i}L_{i}$.

Лаговые многочлены находят своё применение при записи моделей временных рядов. Например, для многочленов $\alpha (L)=\sum _{i=0}^{N}\alpha _{i}L_{i}$ и $\beta (L)=\sum _{j=0}^{M}\beta _{j}L_{j}$ написания моделей сводятся к следующим:

Модель	Запись
AR(i)	$\alpha (L)y_{t}=\epsilon _{t}$
MA(j)	$y_{t}=\beta (L)\epsilon _{t}$
ARMA(i, j)	$\alpha (L)y_{t}=\beta (L)\epsilon _{t}$

где $\epsilon _{t}$ — белый шум.

В этом случае теорема Волда может быть представлена в виде:

$y_{t}=\gamma (L)\epsilon _{t}$,

где:

$\gamma (L)={\frac {\beta (L)}{\alpha (L)}}\ =\sum _{k=0}^{\infty }\gamma _{k}L_{k}$ ($\gamma (0)=1$).