Лемма Витали о покрытиях

Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.

Сверху изначальное семейство шаров. Зелёным выделены непересекающиеся шары, синим — все остальные. Ниже та же диаграмма, в которой зелёные шары утроены — заметим, что они покрывают все голубые шары.

Эта лемма используется в доказательстве теоремы Витали о покрытиях, но также представляет самостоятельный интерес. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Витали.

Формулировка

Конечная версия

Пусть $B_{1},\ldots ,B_{n}$ — конечный набор шаров, содержащихся в d-мерном евклидовом пространстве R^d (или, в более общем случае, в произвольном метрическом пространстве). Тогда существует подмножество $B_{j_{1}},B_{j_{2}},\dots ,B_{j_{m}}$ из этих шаров, в котором шары попарно не пересекаются, и выполняется

$B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \ldots \cup 3B_{j_{m}},$

где $3B_{j_{k}}$ обозначает шар с тем же центром, что и у $B_{j_{k}}$, но с утроенным радиусом.

Бесконечная версия

Пусть $\{B_{j}\mid j\in J\}$ — произвольный (счётный или несчётный) набор шаров в R^d (или, более общо, в метрическом пространстве), такой что

$\sup \,\{\mathrm {rad} (B_{j})\mid j\in J\}<\infty ,$

где $\mathrm {rad} (B_{j})$ обозначает радиус шара B_j. Тогда для любого $k>3$ существует счётное подмножество

$\{B_{j}\mid j\in J'_{k}\},\quad J'_{k}\subset J,$

попарно непересекающихся шаров, таких что

$\bigcup _{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup _{j\in J'_{k}}k\,B_{j}.$

Замечания

• В бесконечной версии лемма перестаёт быть верной, если радиусы не ограничены: например, это неверно для бесконечного набора концентрических шаров с целыми положительными радиусами.
• В самом общем случае, для произвольного метрического пространства, выбор максимальной непересекающейся подколлекции шаров требует некоторой формы леммы Цорна.

Следствия

• В любом конечном наборе шаров $n$-мерного евклидова пространства с объёмом объединения $V$, можно выбрать поднабор пересекающихся между собой шаров с общим объёмом не менее ${\tfrac {1}{3^{n}}}\cdot V$.
  • Коэффициент ${\tfrac {1}{3^{n}}}$ не является оптимальным и оптимальное значение не известно.

Вариации и обобщения

• Вместо шаров можно брать другие области с довольно слабыми условиями.
• Лемма Безиковича — аналог леммы Витали. Она применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств включая евклидово пространство в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер $\mu$ обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы $C$ и произвольного шара $B$ имеем

  $\mu (2\cdot B)\leq C\cdot \mu (B)$

Литература

• Vitali, Giuseppe (1908) [17 December 1907], "Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali", Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (итал.), 43: 75—92, JFM 39.0101.05.
• И. П. Натансон. Теория функций вещественной переменной.