Число Линделёфа

Число Линделёфа — один из кардиналов, характеризующий топологическое пространство: наименьший кардинал ${\mathfrak {m}}$, такой, что из каждого открытого покрытия пространства $X$ можно выбрать подпокрытие мощности не больше $m$. Стандартное обозначение — $l(X)$.

Так как в компактах можно выбрать даже конечное подпокрытие, то число Линделёфа в конечных случаях принимается за $\aleph _{0}$ (конечные случаи, как правило, интереса не представляют). Если число Линделёфа пространства $X$ равно $\aleph _{0}$, то $X$ называют линделёфовым пространством.

Число Линделёфа пространства $X$ не выше его сетевого веса ($l(X)\leqslant nw(X)$). Мощность хаусдорфова пространства $X$ не больше, чем $2^{l(X)*\chi (X)}$, где $\chi (X)$ — характер топологического пространства $X$.

Числа Линделёфа некоторых пространств:

• $l(\mathbb {R} ^{n})=\aleph _{0}$ (лемма Линделёфа);
• $l(L)=2^{\aleph _{0}}$ ($L$ — плоскость Немыцкого);
• $l(J({\mathfrak {m}}))={\mathfrak {m}}$ ($J({\mathfrak {m}})$ — ёж колючести ${\mathfrak {m}}$);
• $l(\mathbb {S} )=\aleph _{0}$ ($\mathbb {S}$ — прямая Зоргенфрея);
• $l(\mathbb {S} ^{2})={\mathfrak {c}}$ (число Линделёфа квадрата прямой Зоргенфрея равно континууму).

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 290—293. — 752 с.